Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 1
Seja definida por . Determinar sendo e .
Passo 1
Temos um problema bem direto. Precisamos determinar a matriz de transformação , saindo da base para a base .
O procedimento é bem repetitivo. O que pode acontecer é ele ser trabalhoso, a depender das bases que estamos trabalhando.
Mas o que temos que fazer? Simples, vamos pegar cada vetor de e aplicar a transformação . Por exemplo, vamos calcular . Depois, vamos escrever como combinação dos vetores de , isto é:
E o que iremos descobrir é o e , elementos da primeira coluna da nossa matriz (primeira coluna pois utilizamos o primeiro vetor da base ).
Passo 2
Agora, só nos resta cair em campo e fazer todas essas contas. Começando pelo vetor , temos:
Resolvendo o sistema acima, vamos obter e . Assim, obtemos os primeiros elementos da nossa matriz. Vamos repetir agora para o segundo vetor da base , . Então:
Percebam que estamos obtendo os coeficientes da segunda coluna. Resolvendo o sistema acima, obtemos: e . Repetindo o mesmo procedimento para o vetor , temos:
Cuja solução é e .
Passo 3
Por fim, basta montarmos a nossa matriz . Como a base tem 3 vetores, teremos uma matriz com 3 colunas. Já como a base tem dois vetores, teremos uma matriz com 2 linhas.
Desta forma, a nossa matriz será:
Então, substituindo os valores que obtivemos no Passo 2, temos:
E esta é a nossa solução da questão!