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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 5

Seja E uma base ortonormal. A medida angular entre os vetores unitários u → e v → é 30 ° e u → ∧ v → e 2 ,   2 ,   1 E são de mesmo sentido. Determine a tripla de coordenadas de u → ∧ v → na base E .

Passo 1

Bom, nesse problema o enunciado fala que o ângulo entre os vetores unitários u → e v → é 30 ° , assim

u → ∧ v → = u → v →   s e n   θ = 1 ⋅ 1 ⋅ s e n   30 ° = 1 2

Lembre-se que u → = v → = 1 pois eles são unitários.

Passo 2

Por outro lado, u → ∧ v → é paralelo a ( 2 ,   2 ,   1 ) e tem a mesmo sentido, de modo que

u → ∧ v → = λ   2 ,   2 ,   1 ,     λ > 0

Assim, usando as propriedades da norma:

u → ∧ v → = λ   2 2 + 2 2 + 1 2 = 3 λ

Mas sabemos do passo 1 que u → ∧ v → = 1 / 2 . Assim,

3 λ = 1 2 ⇒ λ = 1 6

Portanto,

u → ∧ v → = 1 6   2 ,   2 ,   1 = 1 3 , 1 3 , 1 6

Resposta

u → ∧ v → = 1 3 , 1 3 , 1 6

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