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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 3

Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P = ( 0 ,   2 ,   1 ) e forma ângulos congruentes com as retas r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   2 ,   2 ) , s : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   3 ,   0 ) e t : X = 1 ,   2 ,   0 + λ 0 ,   0 ,   3 .

Passo 1

Sabemos que o ângulo θ entre duas retas r e s é dado por

cos ⁡ θ = r → . s → r → . s →

Queremos uma reta p de vetor diretor p → = ( a ,   b ,   c ) que tenha o mesmo ângulo com r , s e t . Então vamos fazer

θ : ângulo entre p e r

∅ : ângulo entre p e s

α : ângulo entre p e t

Vamos calcular cada um desses valores e depois igualar, pois queremos o mesmo ângulo beleza?

Passo 2

Vamos começar achando a expressão de θ . Sabendo que p → = ( a ,   b ,   c ) e r → = ( 1 ,   2 ,   2 )

cos ⁡ θ = ( a ,   b ,   c ) . ( 1 ,   2 ,   2 ) a 2 + b 2 + c 2 . 1 2 + 2 2 + 2 2

cos ⁡ θ = a + 2 b + 2 c 3 a 2 + b 2 + c 2

Agora vamos achar a expressão de ∅ , sabendo que s → = 0 ,   3 ,   0 :

cos ⁡ ∅ = ( a ,   b ,   c ) . ( 0 ,   3 ,   0 ) a 2 + b 2 + c 2 . 3 ²

cos ⁡ ∅ = 3 b 3 a 2 + b 2 + c 2

E por fim, vamos encontrar a expressão de α , sabendo que t → = 0 ,   0 ,   3 :

cos ⁡ α = ( a ,   b ,   c ) . ( 0 ,   0 ,   3 ) a 2 + b 2 + c 2 . 3 ²

cos ⁡ α = 3 c 3 a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Como queremos que os ângulos sejam iguais, vamos igualar as expressões que encontramos hehe

Igualando cos ⁡ θ com cos ⁡ ∅ :

a + 2 b + 2 c 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3 b 3 a 2 + b 2 + c 2

a + 2 b + 2 c = | 3 b |

Como temos módulo, vamos ter duas possibilidades. Primeiro, para tudo positivo:

a + 2 b + 2 c = 3 b

a - b + 2 c = 0   ( I )

E para um dos módulos negativos:

- a - 2 b - 2 c = 3 b

a + 5 b + 2 c = 0   ( I I )

Passo 4

Igualando cos ⁡ ∅ com cos ⁡ α :

3 b 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3 c 3 a 2 + b 2 + c 2

3 b = | 3 c |

Para tudo positivo:

3 b = 3 c

b = c   ( I I I )

Para um dos módulos negativos:

- 3 b = 3 c

b = - c   ( I V )

Passo 5

Por fim, igualando cos ⁡ θ com cos ⁡ α :

a + 2 b + 2 c 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3 c 3 a 2 + b 2 + c 2

a + 2 b + 2 c = | 3 c |

Para tudo positivo:

a + 2 b + 2 c = 3 c

a + 2 b - c = 0   ( V )

Para um dos módulos negativos:

a + 2 b + 2 c = - 3 c

a + 2 b + 5 c = 0   ( V I )

Passo 6

Vamos montar um primeiro sistema com as equações I ,   I I I e V :

a - b + 2 c = 0   b = c a + 2 b - c = 0

Resolvendo esse sistema temos p → = a ,   b ,   c = - c ,   c ,   c .

Então, se c = 1 , temos p → ' = ( - 1 ,   1 ,   1 )

Agora temos um segundo sistema com as equações I I , I V e V I :

a + 5 b + 2 c = 0     b = - c a + 2 b + 5 c = 0

Resolvendo esse sistema, temos p → ' ' = a ,   b ,   c = ( 0 ,   0 ,   0 ) , que não é um valor válido de vetor, entãoo vamos descartar ok?

Logo, nossa reta p é dada pelo ponto P = ( 0 ,   2 ,   1 ) e pelo vetor p → ' = ( - 1 ,   1 ,   1 ) :

p : X = 0 ,   2 ,   1 + λ ( - 1 ,   1 ,   1 )

Resposta

p : X = 0 ,   2 ,   1 + λ ( - 1 ,   1 ,   1 )

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