Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 2
Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e é concorrente com e .
Passo 1
Vamos supôr que a reta que a gente está procurando tenha essa forma geral aqui:
Se ela forma ângulos congruentes com todos os eixos, isso quer dizer o seguinte:
Lembrando que, se o vetor diretor da reta é , e queremos calcular o seu ângulo com o eixo que tem, por exemplo, como diretor, então:
Substituindo isso na igualdade de cima:
Multiplicando tudo por :
E as normas dos versores , e são todas iguais a :
Agora é só escrever os produtos internos:
Beleza, então o vetor diretor da reta precisa ter todas as suas componentes com módulos iguais.
Se a gente chamar esse módulo de , então:
E então existem quatro possibilidades:
Passo 2
O próximo passo é descobrir quais são os valores de para que essas retas sejam concorrentes com e .
Mas antes, vamos encontrar a equação vetorial de :
Usando como variável livre, ficamos com:
E a reta é:
Nenhuma dessas retas é paralela a , então só precisamos garantir que não sejam reversas.
Passo 3
Para que essa reta :
Não seja reversa a essa reta :
Esse sistema tem que ser :
Onde é um segmento que vai de até :
Isso é o mesmo que dizer que esse determinante precisa ser igual a zero:
E fazemos praticamente a mesma coisa para o conjunto que forma com a reta :
E o determinante é:
Então beleza, ficamos com essas duas equações aqui:
Parece muito complicado né? Mas todos eles vão se simplificar bastante quando a gente substituir os valores de , e .
E precisamos resolver as duas em cada um dos quatro casos:
Passo 4
No caso em que ficamos com:
Multiplicando a segunda equação por :
Esse sistema tem infinitas soluções, então podemos escolher, por exemplo, arbitrariamente, então teremos:
Multiplicando a segunda equação por :
E somando as duas:
E substituindo isso na primeira equação:
E então a primeira solução é:
Passo 5
No caso em que ficamos com:
Mais uma vez, vamos usar :
Então pela segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:
Então a segunda solução é:
Passo 6
No caso em que ficamos com:
Vamos multiplicar a segunda equação por :
E usando mais uma vez:
Multiplicando a primeira equação por :
Somando as duas equações:
Substituindo isso na segunda equação:
Então a terceira solução é:
Passo 7
No caso em que ficamos com:
Multiplicando a última equação por :
Usando mais uma vez:
E substituindo a segunda equação na primeira:
E então a última solução é:
Resposta
Então as soluções possíveis são as retas: , , , .