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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 36

Seja o conjunto A = { v 1 , v 2 } , sendo v 1 = - 1 ,   3 ,   - 1 e v 2 = ( 1 ,   - 2 ,   4 ) .

Determinar:

  1. O subespaço G ( A ) .
  2. O valor de k para que o vetor v = ( 5 ,   k ,   11 ) pertença a G ( A ) .

Passo 1

  1. O subespaço G ( A ) é gerado pela combinação linear de v 1 e v 2 . O nosso espaço vai ser da forma:

    2. x , y , z = a - 1 ,   3 ,   - 1 + b 1 ,   - 2 ,   4

    Isso nos dá um sistema:

    - a + b = x 3 a - 2 b = y - a + 4 b = z

    Subtraindo a primeira da terceira:

    4 b - b = z - x

    b = z - x 3

    Substituindo na primeira:

    - a + z - x 3 = x

    a = - 4 x + z 3

    Agora, substituindo tudo na segunda:

    3 - 4 x + z 3 - 2 z - x 3 = y

    - 12 x + 3 z - 2 z + 2 x = 3 y

    10 x + 3 y - z = 0

    Esse é o nosso subespaço gerado!

    G A = x , y , z ∈ R 3 ; 10 x + 3 y - z = 0

    Passo 2

  2. Para o vetor pertencer a G ( A ) , é só as suas coordenadas servirem na equação do subespaço! Vamos substituir as coordenadas de ( 5 ,   k ,   11 ) em 10 x + 3 y - z = 0 .

10 5 + 3 k - 11 = 0

50 + 3 k - 11 = 0

k = - 13

Resposta

  1. G A = x , y , z ∈ R 3 ; 10 x + 3 y - z = 0
  2. k = - 13
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