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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 35c

Determine o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ,   0 }

Passo 1

Um vetor qualquer do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a 1 ,   0 ,   1 + b 0 ,   1 ,   1 + c - 1 ,   1 ,   0

x , y , z = a - c ,   b + c ,   a + b

Isso nos dá um sisteminha:

a - c = x b + c = y a + b = z

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pra encontrar a , b e c . Da primeira e da terceira equações, obtemos:

c = a - x

b = z - a

Substituindo isso na segunda:

z - a + a - x = y

z - x = y

x + y - z = 0

Passo 3

Beleza, encontramos a equação que define o nosso subespaço. Ele vai ser dado por:

{ x , y , z ∈ R 3 ; x + y - z = 0 }

Resposta

{ x , y , z ∈ R 3 ; x + y - z = 0 }

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Determina o espaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = 2 x + 2 p 2 = - x 2 + x + 3 p 3 = x 2 + 2 x