Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   0 }

Passo 1

Pensa assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a 1 ,   2 ,   - 1 + b - 1 ,   1 ,   0 + c 0 ,   0 ,   2 + d ( - 2 ,   1 ,   0 )

x , y , z = ( a - b - 2 d ,   2 a + b + d ,   - a + 2 c )

Isso nos dá um sisteminha:

a - b - 2 d = x 2 a + b + d = y - a + 2 c = z

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pra encontrar uma relação entre as variáveis. Na última equação, vamos encontrar:

c = z + a 2

Vamos somar as duas primeiras equações pra sumir com b :

a - b - 2 d + 2 a + b + d = x + y

3 a - d = x + y

d = 3 a - x - y

Agora vamos somar a primeira equação com o dobro da segunda:

a - b - 2 d + 2 2 a + b + d = x + 2 y

5 a + b = x + 2 y

b = x + 2 y - 5 a

Passo 3

Bom, galera, aqui a gente conseguiu escrever todos os coeficientes da combinação linear em função de uma só. Assim, a gente não tem uma combinação linear só, mas sim várias, e essas combinações todas vão depender do valor de a , que varia livremente. Assim, todos os coeficientes variam livremente, e por isso, vamos estar livres pra percorrer todo o espaço. Por isso, o nosso espaço gerado é o R 3 .

Resposta

R 3

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