Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 35f
Determinar o subespaço do gerado pelo seguinte conjunto:
Passo 1
Pensa assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico :
Isso nos dá um sisteminha:
Passo 2
Vamos resolver esse sistema pra encontrar uma relação entre as variáveis. Na última equação, vamos encontrar:
Vamos somar as duas primeiras equações pra sumir com :
Agora vamos somar a primeira equação com o dobro da segunda:
Passo 3
Bom, galera, aqui a gente conseguiu escrever todos os coeficientes da combinação linear em função de uma só. Assim, a gente não tem uma combinação linear só, mas sim várias, e essas combinações todas vão depender do valor de , que varia livremente. Assim, todos os coeficientes variam livremente, e por isso, vamos estar livres pra percorrer todo o espaço. Por isso, o nosso espaço gerado é o .