Enunciado

Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   - 3 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   - 1 ,   1 }

Passo 1

Pensa assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a 1 ,   2 ,   - 1 + b - 1 ,   1 ,   0 + c - 3 ,   0 ,   1 + d ( - 2 ,   - 1 ,   1 )

x , y , z = ( a - b - 3 c - 2 d ,   2 a + b - d ,   - a + c + d )

Isso nos dá um sisteminha:

a - b - 3 c - 2 d = x 2 a + b - d = y - a + c + d = z

Passo 2

O nosso objetivo agora é sumir com as letras todas e ficar só com x , y e z . Beleza, vamos começar somando as duas primeiras pra já sumir com b .

a - b - 3 c - 2 d + 2 a + b - d = x + y

3 a - 3 c - 3 d = x + y

Ih alá! Essa parada tá parecidona com a terceira equação! É ela multiplicada por - 3 , viu? Então agora soma aí a primeira com três vezes a segunda:

3 a - 3 c - 3 d + 3 - a + c + d = x + y + 3 z

x + y + 3 z = 0

Passo 3

Beleza, achamos uma equação que rege as componentes dos vetores do subespaço. Essa é a que chamamos equação do subespaço. Fechou então! A definição do subespaço vai ser:

x ,   y ,   z ∈ R 3 ; x + y + 3 z = 0

Resposta

x ,   y ,   z ∈ R 3 ; x + y + 3 z = 0

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