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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 9

Seja T : R 3 → R 3 dada por T x , y , z = ( z , x - y , - z ) e seja W = ker ⁡ T .

  1. Encontre uma base ortonormal para W ⊥ (em relação ao produto interno canônico de R 3 ).
  2. O mesmo em relação ao produto interno:

< x , y , z , x ' , y ' , z ' >   = 2 x x ' + y y ' + 4 z z '

Passo 1

Primeiro a gente tem que descobrir quem é o núcleo da transformação. Como fazemos isso? Basta que a gente iguale a transformação a zero e identifique os vetores que tornem essa equação verdadeira. Veja:

T x , y , z = z , x - y , - z = ( 0,0 , 0 )

Que resulta no sistema:

z = 0 x - y = 0 - z = 0

Assim, a gente pode escrever os vetores do núcleo como sendo:

x , x , 0 = x ( 1,1 , 0 )

De onde identificamos a base:

β 1 = { ( 1,1 , 0 ) }

Passo 2

  1. Agora que a gente já tem a base do núcleo, vamos repetir o procedimento da questão anterior. Primeiro a gente fazer o produto interno nulo para um vetor v ∈ W ⊥ :

    2. < v , ( 1,1 , 0 ) > = 0

    x + y = 0

    De onde a gente pode escrever o vetor como:

    x , - x , z = x 1 , - 1,0 + z ( 0,0 , 1 )

    Logo, a gente tem a base:

    β 2 = { 1 , - 1,0 , ( 0,0 , 1 ) }

    Mas o exercício pede a base ortonormal, então precisamos normalizá-la. Para isso, precisamos dividir cada vetor pela sua norma:

    1 , - 1,0 = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 0 = 2

    0,0 , 1 = 0 + 0 + 1 2 = 1

    β 2 ' = 1 2 , - 1 2 , 0 , 0,0 , 1

    Passo 3

  2. Vamos repetir o item anterior somente mudando a conta do produto interno:

< v , ( 1,1 , 0 ) > = 0

2 x + y = 0

De onde a gente pode escrever o vetor como:

x , - 2 x , z = x 1 , - 2,0 + z ( 0,0 , 1 )

Que gera a base:

β 3 = { 1 , - 2,0 , ( 0,0 , 1 ) }

Vamos normalizar esse também:

1 , - 2,0 = 1 2 + ( - 2 ) 2 + 0 = 5

0,0 , 1 = 0 + 0 + 1 2 = 1

β 3 ' = 1 5 , - 2 5   , 0 , 0,0 , 1

Resposta

  1. β 2 ' = 1 2 , - 1 2 , 0 , 0,0 , 1 ;
  2. β 3 ' = 1 5 , - 2 5   , 0 , 0,0 , 1
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Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 e u = 3 , - 2 , v = 4,5 , w = - 1,6 e k = - 4 . Verifique as expressões dadas. u , v = v , u u + v , w = u , w + v , w u , v + w = u , v + u , w a u , v
Prove: se u , v for um produto euclidiano de R n e se A for uma matriz n × n , então u , A v = A T u . v [Sugestão: use o fato de que u , v = u . v = v T u .]
Use a desigualdade Cauchy-Schwarz para mostrar que a 1 + a 2 + … + a n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n ≤ n 2 Quaisquer que sejam os números reais positivos a 1 ,a 2 , … , a n .
Mostre que se x e y forem quaisquer vetores num espaço com produto interno e c um escalar qualquer, então c x + y 2 = c 2 x 2 + 2 c x , y + y 2
Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor em R 4 que seja ortogonal a u 1 → = 1 ,0 ,0 ,0 e u 4 → = 0 ,0 ,0 ,1 e faça ângulos iguais com u 2 → = 0 ,1 ,0 ,0 e u 3 → = 0 ,0 ,1