Seja dada por e seja .
- Encontre uma base ortonormal para (em relação ao produto interno canônico de ).
- O mesmo em relação ao produto interno:
Passo 1
Primeiro a gente tem que descobrir quem é o núcleo da transformação. Como fazemos isso? Basta que a gente iguale a transformação a zero e identifique os vetores que tornem essa equação verdadeira. Veja:
Que resulta no sistema:
Assim, a gente pode escrever os vetores do núcleo como sendo:
De onde identificamos a base:
Passo 2
- Agora que a gente já tem a base do núcleo, vamos repetir o procedimento da questão anterior. Primeiro a gente fazer o produto interno nulo para um vetor :
- Vamos repetir o item anterior somente mudando a conta do produto interno:
De onde a gente pode escrever o vetor como:
Logo, a gente tem a base:
Mas o exercício pede a base ortonormal, então precisamos normalizá-la. Para isso, precisamos dividir cada vetor pela sua norma:
Passo 3
De onde a gente pode escrever o vetor como:
Que gera a base:
Vamos normalizar esse também:
Resposta
- ;