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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 8

Calcule det A , onde

  1. A = |[[3,-,1,5,0],[0,2,0,1],[2,0,-,1,3],[1,1,2,0]]|
  2. |[[3,0,0,0,0],[19,18,0,0,0],[-,6,pi,-,5,0,0],[4,sqrt(2),sqrt(3),0,0],[8,3,5,6,-,1]]|
  3. |[[i,3,2,-,i],[3,-,i,1,i],[2,1,-,1,0],[-,i,i,0,1]]|

Passo 1

a)

Observe que a linha dois possui dois elementos nulos:

a_21 e a_23

Vamos escolher essa linha para usar o Teorema de Laplace, pois somente precisaremos calcular Delta_22 e Delta_24 . Calculando-os:

Delta_22 = (- 1)^(2 + 2) |[[3,5,0],[2,-,1,3],[1,2,0]]| = - 3

Delta_24 = (- 1)^(2 + 4) |[[3,-,1,5],[2,0,-,1],[1,1,2]]| = 18

Dessa forma, temos que:

det A = 2 * (- 3) + 18 = 12

Passo 2

b)

Antes de sair fazendo conta nessa questão, multiplique a coluna 5 por 6 e some na coluna 4:

|[[3,0,0,0,0],[19,18,0,0,0],[-,6,pi,-,5,0,0],[4,sqrt(2),sqrt(3),0,0],[8,3,5,6,-,1]]| underset(C_4 -> C_4 + 6 C_5)(=>) |[[3,0,0,0,0],[19,18,0,0,0],[-,6,pi,-,5,0,0],[4,sqrt(2),sqrt(3),0,0],[8,3,5,0,-,1]]|

Ou seja, temos uma coluna nula, do que segue que o determinante é nulo.

Passo 3

(c) Nós temos o determinante da matriz:

|[[i,3,2,-,i],[3,-,i,1,i],[2,1,-,1,0],[-,i,i,0,1]]|

Vamos pegar a última linha para aplicar Laplace, beleza?? Isso porque ela tem pelo menos um 0 ... Vamos lá!

Assim, só vamos nos preocupar em calcular os cofatores dos elementos a_4 1 , a_4 2 e a_4 3 :

Delta_4 1 = (- 1)^(4 + 1) |[[3,2,-,i],[-,i,1,i],[1,-,1,0]]| = (- 1) (0 + 2 i + 1 - (- i - 3 i + 0)) = - 6 i - 1

Delta_4 2 = (- 1)^(4 + 2) |[[i,2,-,i],[3,1,i],[2,-,1,0]]| = (0 + 4 i + 3 i - (- 2 i + 1 + 0)) = 9 i - 1

Delta_4 3 = (- 1)^(4 + 3) |[[i,3,2],[3,-,i,1],[2,1,-,1]]| = (- 1) (- 1 + 6 + 6 - (- 4 i + i - 9)) = - 3 i - 20

Lembrando que i^2 = - 1

Logo, temos que:

det A = (- i) (- 6 i - 1) + (i) (9 i - 1) + (1) (- 3 i - 20)

det A = 6 i^2 + i + 9 i^2 - i - 3 i - 20

det A = - 15 - 3 i - 20

det A = - 3 i - 35

Resposta

  1. 12;
  2. 0;
  3. - 3 i - 35 .
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