Seja P : V → V um operador idempotente ( P 2 = P ) de um espaço de dimensão finita. Mostre que

a) Existe uma base B tal que a matriz de P em relação a B , A = a i j n x n , é tal que a 11 = … = a r r = 1   e os demais a i j = 0 , onde r = p o s t o ( P ) .

(b) O traço de P é igual ao seu posto.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja P : V → V um operador idempotente ( P 2 = P ) de um espaço de dimensão finita. Mostre que

a) Existe uma base B tal que a matriz de P em relação a B , A = a i j n x n , é tal que a 11 = … = a r r = 1   e os demais a i j = 0 , onde r = p o s t o ( P ) .

(b) O traço de P é igual ao seu posto.

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) para base B a matriz P em relação a A = a i j n   x   n , temos

A = α 0 0 0 α 0 0 0 α → A 2 = A

Na letra (b) para o traço de P temos

P = P - 1 ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A 2 = A

b) P - 1 ≠ 0  

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