Sejam w 1 , … w k subespaços de um espaço vetorial w k

a) Seja V = w 1 ⊕ … ⊕ w k . Se B i é uma base de W i , para i = 1 , … , k , mostre que B 1 ∩ … ∩ B k = ∅   e     B 1 ∪ … ∪ B k   e uma base de V .

b) Reciprocamente, se Bi e base de   W i , para i = 1 , … , k , com B 1 ∩ … ∩ B k = ∅ e B 1 ∪ … ∪ B k   base de V, mostre que V = w 1 ⊕ … ⊕ w k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja w 1 , … w k subespaços de um espaço vetorial w k

a) Seja V = w 1 ⊕ … ⊕ w k . Se B i é uma base de W i , para i = 1 , … , k , mostre que B 1 ∩ … ∩ B k = ∅   e     B 1 ∪ … ∪ B k   e uma base de V .

b) Reciprocamente, se Bi e base de   W i , para i = 1 , … , k , com B 1 ∩ … ∩ B k = ∅ e B 1 ∪ … ∪ B k   base de V, mostre que V = w 1 ⊕ … ⊕ w k .

Precisa fazer esta carinha não que a questão só e extensa, mas ela é linda.

Passo 2

Na letra (a) seja V = w 1 ⊕ … ⊕ w k para mostrar que B 1 ∩ … ∩ B k = ∅ e B 1 ∪ … ∪ B k

Temos,

B 1 ∩ … ∩ B k = B 1 ∪ … ∪ B k = ∅

Na letra (b) sendo B i a base de w 1 para i = 1 , … , k , com

B 1 ∩ … ∩ B k = ∅ e B 1 ∪ … ∪ B k base de V

Ficando,

V = B 1 ∩ … ∩ B k = ∅

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) B 1 ∩ … ∩ B k = B 1 ∪ … ∪ B k = ∅

b) V = B 1 ∩ … ∩ B k = ∅

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