Seja definida na região poliedral convexa abaixo:
- Qual o valor máximo e mínimo de ?
- Calcule os valores , e , onde é um ponto no segmento .
- Use e para determinar os pontos onde atinge o máximo e os pontos onde assume o mínimo.
Passo 1
- A nossa função que queremos maximizar (e minimizar) é . Vamos no de sempre: a gente pega o vetor perpendicular a essa reta. Partindo da origem, ele vai estar na direção .
- Vamos calcular o valor da função pra aqueles pontos:
- Os pontos de máximo vão ser todos os pontos da reta , e o ponto de mínimo vai ser só o ponto , já que, pra , todos os pontos ali têm o mesmo valor da função, e pra , se a gente aumentar um tantinho uma das componentes, já saímos do vértice e não vai ser o mínimo! Isso acontece pra porque a reta é perpendicular ao gradiente da função que queremos calcular!
Agora a gente tem que interceptar essa reta com a figura e ver onde vai bater. Bora traçar essa parada!
Do desenho a gente já vê: a nossa reta bate no segmento e no vértice . Bom, já dá pra ver que o ponto vai ser um ponto de mínimo, né? A gente tem que interceptar com a reta então! Igualando as equações:
Juntando as duas vamos obter:
Então show! O máximo vai ser:
E o mínimo:
Passo 2
E pra um ponto qualquer na reta:
E aí a função vai valer:
Ih, deu igual em tudo que é canto!
Passo 3
Resposta
- Máximo: , Mínimo: .
- Máximo: toda a reta . Mínimo: vértice .