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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 8

Mostrar que os polinômios 1 - t , (1 - t)^2 , (1 - t)^3 e 1 geram P_3 (R) .

Passo 1

Vamos lá! Para resolver essa questão basta mostrar que os polinômios dados no enunciado constituem uma base para o espaço de polinômios de grau três. Não ficou claro?? Deixa eu tentar melhorar pra você. O que eu to querendo dizer é que basta mostrar que eles são linearmente independentes. Melhorou?! hahhaha

A base canónica P_3 (R) de é B = {1 , t , t^2 , t^3} . Portanto, qualquer elemento de  P_3 (R)  pode ser escrito na forma:

a + b t + c t^2 + d t^3

onde  a , b , c e d in R .

Beleza?

Então agora vamos fazer uma combinação linear dos polinómios indicados:

x (1 - t) + y (1 - t)^2 + z (1 - t)^3 + w

onde  x , y , z , w in R .

Como queremos mostrar que eles são Linearmente Independentes,

x (1 - t) + y (1 - t)^2 + z (1 - t)^3 + w = 0

Passo 2

Agora vamos expandir as potências e reagrupar os termos:

x (1 - t) + y (1 - t)^2 + z (1 - t)^3 + w =

= x - x t + y (1 - 2 t + t^2) + z (1 - 3 t + 3 t^2 - t^3) + w =

= (x + y + z + w) + (- x - 2 y - 3 z) t + (y + 3 z) t^2 - z t^3 .

Assim,

{[[x + y + z + w = 0],[- x - 2 y - 3 z = 0],[y + 3 z = 0],[- z = 0]])

Resolvendo de baixo para cima temos que

x = y = z = w = 0

Portanto, os quatro polinômios dados são L.I. e , desta forma, geram o espaço dos polinômios de grau três.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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