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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 9

Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços do R 3 :

  1. U = x , y , x     x - 2 y = 0 }

  2. V = x , y , x     x + z = 0   e   x - 2 y = 0 }

  3. W = x , y , x     x + 2 y - 3 z = 0 }

  4. U ∩ V

  5. V + W

Passo 1

Queremos achar o conjunto gerador para cada um dos subespaços.

a)   U = x , y , x     x - 2 y = 0 ⇒ x = 2 y }

Um elemento de U   pode ser escrito da forma,

x , y , z = 2 y , y , z = y 2,1 , 0 + z ( 0,0 , 1 )

Assim, U = [ 2,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) ] .

Passo 2

b) V = x , y , x     x + z = 0   e   x - 2 y = 0 }

Temos então

x + z = 0 x - 2 y = 0

Daí temos que

x = - z .

Então

x - 2 y = 0   ⇒ x = 2 y ⇒ z = - 2 y

Portanto, x = 2 y e z = - 2 y .

x , y , z = 2 y , y , - 2 y = y ( 2,1 , - 2 )

Assim, V = [ 2,1 , - 2 ) .

Passo 3

c) W = x , y , x     x + 2 y - 3 z = 0   ⇔ x = 3 z - 2 y }

Um elemento de W   pode ser escrito da forma,

x , y , z = 3 z - 2 y , y , z = y - 2,1 , 0 + z ( 3,0 , 1 )

Assim, W = - 2,1 , 0 , 3,0 , 1 .

Passo 4

d) U ∩ V

Essa é meio óbvia, não?! Ahahaha U ∩ V serão todos os vetores em comum aos dois subespaços.

Assim,

U ∩ V = { 0 }

De modo que U e V são soma direta.

Passo 5

e) V + W

V + W será a união dos conjuntos de cada um dos subespaços:

V + W = [ 2,1 , - 2 , - 2,1 , 0 , 3,0 , 1 ]

Beleza?

Resposta

  1. U = [ 2,1 , 0 , ( 0,0 , 1 ) ] .
  2. V = [ 2,1 , - 2 ) .
  3. W = - 2,1 , 0 , 3,0 , 1 .
  4. U ∩ V = 0
  5. V + W = [ 2,1 , - 2 , - 2,1 , 0 , 3,0 , 1 ] .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
Observe que:Faça o mesmo com 5,6 , 7 .
Mesma questão, com x_n + 4 = 5 x_n + 3 - 5 x_n + 2 - 5 x_n + 1 + 6 x_n .
Seja S o subconjunto das sequências ( x 0 ,x 1 , … ,x n , … ) tais que x n + 3 = 6 x n + 2 - 11 x n + 1 + 6 x n . Provar que S é subespaço vetorial dos reais infinito e encontrar uma base.