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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 7

Sejam U , V   e   W os seguintes subespaços de R 3 :

U = x , y , z     x = z }

V = x , y , z     x = y = 0 }

W = x , y , z     x + y + z = 0 }

Verifique que U + V = R 3 , U + W = R 3 e V + W = R 3 . Em alguns dos casos a soma é direta?

Passo 1

Vamos lá! Primeira coisa que vamos fazer é achar o conjunto gerador de cada um dos subespaços.

U = x , y , z     x = z }

Um elemento de U   pode ser escrito da forma,

x , y , z = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0

Assim, U = [ 1,0 , 1 , 0,1 , 0 ] .

Da mesma forma, um elemento de V

V = x , y , z     x = y = 0 }

Pode ser escrito da forma,

x , y , z = z ( 0,0 , 1 )

Assim, V = [ 0,0 , 1 ] .

E um elemento de W

W = x , y , z     x + y + z = 0 }

Pode ser escrito da forma

x , y , z = x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1

Assim, W = [ 1,0 , - 1 , 0,1 , - 1 ] .

Beleza?

Passo 2

Primeiro vamos verificar que U + V = R 3

U + V = { u + v ,   ∀   u   ∈ U   e   ∀   v ∈ V }

Assim:

u + v = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1 = x , y , x + z

Dessa forma,

a , b , c = ( x , y , x + z )

Ou seja,

a = x b = y c = x + z ⇒ x = a y = b z = c - a

Note que sempre poderemos escrever R 3 como U + V , se tomar   x , y , z definidos acima. Veja:

u = x , y , z = a , b , a

v = 0,0 , z = ( 0,0 , c - a )

u + v = ( a , b , c )

Beleza?

Logo, U + V = R 3

Além disso, U ∩ V = 0 ,   de modo que U + V é soma direta.

Passo 3

O procedimento para verificarmos que U + W = R 3 será bem parecido com o anterior.

U + W = { u + w ,   ∀   u   ∈ U   e   ∀   w ∈ W }

Assim:

u + w = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0 + x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1 = 2 x ,   2 y ,   - y

Dessa forma,

a , b , c = ( 2 x , 2 y , - y )

Ou seja,

a = 2 x b = 2 y c = - y

Note que sempre poderemos escrever R 3 como U + W , se tomar   x , y , z definidos acima.

Logo, U + W = R 3 .

Note que U ∩ W ≠ 0 , então não é soma direta.

Passo 4

O procedimento para verificarmos que V + W = R 3 será bem parecido com os anteriores.

V + W = { v + w ,   ∀   v   ∈ V   e   ∀   w ∈ W }

Assim,

v + w = z 0,0 , 1 + x 1,0 , - 1 + y 0,1 , - 1

Dessa forma,

a , b , c = ( x , y , z - x - y )

Ou seja,

a = x b = y c = z - x - y ⇒ x = a y = b   z = c + a + b

Note que sempre poderemos escrever R 3 como U + W , se tomar   x , y , z definidos acima.

Logo, V + W = R 3 .

Note que , V ∩ W = 0 ,   de modo que V + W é soma direta.

Resposta

U + V = R 3 e V + W = R 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

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Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços do R 3 ? W=x ,y ,z ∈R 3 x = 0 } W=x ,y ,z ∈R 3 x = Z } W=x ,y ,z ∈R 3 yéi r r a c i o n a l } é W=x ,y ,z ∈R 3 x - 3 z = 0 } W=x ,y ,z ∈R 3 a x +
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