Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 42a
Seja o espaço vetorial . Determinar o subespaço gerado pelos vetores:
Passo 1
Qualquer vetor do subespaço gerado pelos vetores vai ser uma combinação linear desses vetores, certo? Então podemos escrever assim:
Essa equação de matrizes vai nos dar um sistema:
Passo 2
É desse sistema que a gente vai tirar a equação do nosso subespaço! A gente precisa eliminar e e relacionar , , e . Tem muitas parametrizações possíveis, mas vamos tentar escrever e em função de e , por exemplo:
Comparando os coeficientes de e , vamos encontrar:
Por isso,
Passo 3
Falta botar o em função de e . Vamos proceder igualzinho ao que fizemos pra .
Daqui, comparando os coeficientes, vamos encontrar:
Daí,
Passo 4
Por isso, juntando todas as condições que encontramos, nosso espaço vai ser:
Fechou!
Resposta
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Encontre uma base para os seguintes subespaços do R 3 :a) Todos os vetores da forma a , b , c , onde b = a ; b) Todos os vetores da forma a , b , c , onde a = 0 ; c) Todos os vetores da forma a - b ,
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo A - λ I n X = 0 - tem solução não trivial e para estes valores de λ , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:a) 0 0 1 1
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo A - λ I n X = 0 - tem solução não trivial e para estes valores de λ , encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:c) 1 1 - 2
Dados v 1 = 1,1 , 1ev 2 = 3 , - 1,4 : a) Os vetores v 1ev 2 geram o R 3 ? Justifique.b) Seja v 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre v 3 , para que { v 1 , v 2ev 3 } seja uma base de R
Mostre que { 1 , t 2 , t 4 , … , t 2 n , … } e uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - 1 = p ( t ) , para todo t ∈ R .