Enunciado

Seja o espaço vetorial M ( 2 ,   2 ) . Determinar o subespaço gerado pelos vetores:

v 1 = - 1 2   1 0

v 2 =   2   1 - 1 - 1

Passo 1

Qualquer vetor do subespaço gerado pelos vetores vai ser uma combinação linear desses vetores, certo? Então podemos escrever assim:

v = a v 1 + b v 2

x y z t = a - 1 2 1 0 + b 2 1 - 1 - 1

x y z t = - a + 2 b 2 a + b a - b - b

Essa equação de matrizes vai nos dar um sistema:

x = - a + 2 b y = 2 a + b z = a - b t = - b

Passo 2

É desse sistema que a gente vai tirar a equação do nosso subespaço! A gente precisa eliminar a e b e relacionar x , y , z e t . Tem muitas parametrizações possíveis, mas vamos tentar escrever y e z em função de x e t , por exemplo:

y = m x + n t

2 a + b = m - a + 2 b + n - b

2 a + b = - m a + 2 m - n b

Comparando os coeficientes de a e b , vamos encontrar:

m = - 2

2 - 2 - n = 1

n = - 5

Por isso,

y = - 2 x - 5 t

Passo 3

Falta botar o z em função de x e t . Vamos proceder igualzinho ao que fizemos pra y .

z = p x + q t

a - b = p - a + 2 b + q - b

a - b = - p a + 2 p - q b

Daqui, comparando os coeficientes, vamos encontrar:

- p = 1 → p = - 1

2 p - q = - 1

2 - 1 - q = - 1

q = - 1

Daí,

z = - x - t

Passo 4

Por isso, juntando todas as condições que encontramos, nosso espaço vai ser:

x y z t ; y = - 2 x - 5 t ; z = - x - t

Fechou!

Resposta

x y z t ; y = - 2 x - 5 t ; z = - x - t

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