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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 144

Seja P uma parábola. Determine o lugar geométrico dos pontos X para os quais existem duas retas tangentes a P que contém X e são perpendiculares.

Passo 1

Vamos utilizar o resultado do exercício [23-101 (b)]. Vimos que podemos expressar os vetores diretores das retas tangentes como u → = k + k 2 - 4 p h ,   2 p e v → = k - k 2 - 4 p h , 2 p , onde h ,   k é um ponto da parábola.

Passo 2

Para que a s retas sejam perpendiculares, segue que

u → ⋅ v → = 0 ⟹ k + k 2 - 4 p h ,   2 p ⋅ k - k 2 - 4 p h , 2 p = 0

∴ k 2 - k 2 - 4 p h + 4 p 2 = 0 ⟹ 4 p h + p = 0

Como p ≠ 0 , nos resta que h = - p .

Passo 3

O valor de h = - p , nos indica que os pontos devem estar sobre a diretriz da parábola.

Resposta

O lugar geométrico é a própria diretriz da parábola.

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Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.12) foco: F ( 2 ,0 ) ; diretriz d : x + 2 = 0