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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 11

Seja F ∈ R 4 dado por F x , y , z , t = 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x .

Mostrar que:

  1. F 4 = 0 ;
  2. I - F é um automorfismo do R 4 e I + F + F 2 + F 3 = I - F - 1 .

Passo 1

Bom, temos duas contas a fazer. Só que as operações a serem feitas na letra a) irão nos ajudar na letra b).

Ai sim o negócio fica interessante! Temos que aproveitar tudo que fazemos!

Desta forma, vamos começar devagar pela letra a). Lá, precisamos provar que F 4 = 0 . E como faremos isto? Então... será um pouco de trabalho “braçal”. Vamos ter de calcular um por um. Portanto, começando por F 2 , temos:

F 2 = F F x , y , z , t = F 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x

F 2 = 0,0 , x + 2 ⋅ 0 , y + 2 x + 2 ⋅ x + 3 ⋅ 0 = 0,0 , x , y + 4 x

Fazendo o mesmo procedimento para F 3 , temos:

F 3 = F 2 F x , y , z , t = F 2 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x

F 3 = 0,0 , 0 , x + 4 ⋅ 0 = 0,0 , 0 , x

E, finalmente, para F 4 , temos:

F 4 = F 3 F x , y , z , t = F 3 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x

F 4 = 0,0 , 0 , 0

E assim acabamos provando que F 4 é o operador nulo!

Passo 2

Agora, podemos ir para a letra b). Inicialmente, vamos provar que I - F é um automorfismo. Depois, verificaremos a relação I + F + F 2 + F 3 = I - F - 1 . Será no segundo instante que utilizaremos as relações desenvolvidas para a letra a).

Mas bom, vamos com calma. Primeiro, vamos provar que I - F é um automorfismo. Mas sim, quem é I - F ?

Ele será dado por:

I - F = x , y , z , t - 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x

I - F = x , y - x , z - y - 2 x , t - z - 2 y - 3 x

Agora sim. Para provarmos que I - F é um automorfismo, basta checarmos que ker ⁡ I - F = 0 . Isto é, o núcleo de I - F é o vetor nulo. Lembrando, o núcleo é o conjunto dos vetores u tais que I - F u = 0 .

Sendo assim, basta descobrirmos os vetores que satisfazem o sistema abaixo:

x = 0 y - x = 0 z - y - 2 x = 0 t - z - 2 y - 3 x = 0

A única solução do sistema é x = y = z = t = 0 . Portanto, ker ⁡ I - F = 0 . E assim provamos que a transformação linear I - F é um automorfismo.

Passo 3

Agora, temos que provar a relação I + F + F 2 + F 3 = I - F - 1 . Para isto, vamos calcular os dois membros e verificar que ambos são iguais.

Começaremos então pelo primeiro membro, o qual é o mais fácil. Utilizando as relações já obtidas no Passo 1, temos:

I + F + F 2 + F 3 = x , y , z , t + 0 , x , y + 2 x , z + 2 y + 3 x + 0,0 , x , y + 4 x + 0,0 , 0 , x

I + F + F 2 + F 3 = x , y + x , z + y + 3 x , t + z + 3 y + 8 x

Pronto. Já sabemos o resultado do primeiro membro. Agora, temos que obter I - F - 1 , o qual corresponde ao automorfismo inverso. O procedimento pode parecer estranho, mas é sempre o mesmo passo a passo, independentemente da transformação que estamos trabalhando!

Então, vamos fazer I - F = H . Agora, vamos supor que H - 1 x , y , z , t = a , b , c , d .

Só que nós não dissemos antes que I - F = H ? Desta relação, podemos escrever então que

H a , b , c , d = I - F a , b , c , d = a , b - a , c - b - 2 a , d - c - 2 b - 3 a = x , y , z , t

Comparando coordenada a coordenada, queremos descobrir os valores das incógnitas a , b , c e d que satisfaçam:

a = x b - a = y c - b - 2 a = z d - c - 2 b - 3 a = t ⟹ a = x b = y + x c = z + y + x + 2 x d = t + c + 2 b + 3 a ⟹ a = x b = y + x c = z + y + 3 x d = t + z + 3 y + 8 x

Portanto, I - F - 1 = H - 1 x , y , z , t = a , b , c , d = x , y + x , z + y + 3 x , t + z + 3 y + 8 x . Agora, é só compararmos ambos os membros da nossa relação. Logo,

I + F + F 2 + F 3 = I - F - 1

x , y + x , z + y + 3 x , t + z + 3 y + 8 x = x , y + x , z + y + 3 x , t + z + 3 y + 8 x

Comparando coordenada a coordenada, vemos que ambas as relações são idênticas!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine expressões para as transformações lineares R π / 3 , x , R π / 3 , y e R π / 3 , z que são rotações de π / 3 em relação aos eixos x , y e z respectivamente.
Considere o plano π : x + 2 y + 3 z = 0 . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares:a) a projeção ortogonal no plano π , p π :R 3 → R 3 .b) a reflexão em relação ao plano π , R π :
Determine expressões para as transformações lineares R θ , x ,R θ , y ,R θ , z :R 3 → R 3 , que são rotações de θ em relação aos eixos x, y e z, respectivamente.
Considere o plano π : a x + b y + c z = 0 . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares:(a) A projeção ortogonal no plano π , p π :R 3 → R 3 .(b) A reflexão em relação ao plano π , R
Considere a reta r : x , y , z = t ( a , b , c ) . Encontre expressões para as seguintes transformações lineares: a) A projeção ortogonal na reta r , p r : R 3 → R 3 . b) A reflexão em relação à reta