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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 18

Seja u 1 , u 2 , … , u n uma base de um espaço vetorial V de dimensão n . Considerando o operador linear T ∈ L V tal que T u 1 = u 2 , T u 2 = u 3 , … , T u n = u 1 , mostre que T n = I , mas que T n - 1 ≠ I .

Passo 1

Essas questões que nos pedem para provar sempre parecem assustadoras! Mas calma, vocês vão perceber que ela não é essas coisas todas.

O que nós precisamos saber é o que é esse I que tanto aparece no enunciado. Bom, este operador I é o operador idêntico. O que ele faz é o seguinte:

I v = v

De uma certa forma, podemos dizer que ele não faz absolutamente nada para o nosso vetor.

Passo 2

Agora que a gente entendeu o que é o operador idêntico, o que temos que fazer para provar as relações pedidas na questão?

Então, vamos começar escrevendo um vetor v ∈ V qualquer como combinação linear da sua base. Portanto,

v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n - 1 u n - 1 + α n u n

E agora? Vamos aplicar a transformação linear T e usar as relações dadas no enunciado da questão, as quais eram: T u 1 = u 2 , T u 2 = u 3 , … , T u n = u 1 . Desta forma, temos:

T v = T α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n - 1 u n - 1 + α n u n

T v = α 1 T u 1 + α 2 T u 2 + … + α n - 1 T u n - 1 + α n T u n

T v = α 1 u 2 + α 2 u 3 + … + α n - 1 u n + α n u 1

E se nós aplicarmos a transformação linear T novamente? Teremos:

T 2 v = T α 1 u 2 + α 2 u 3 + … + α n - 1 u n + α n u 1

T 2 v = α 1 T u 2 + α 2 T u 3 + … + α n - 1 T u n + α n T u 1

T 2 v = α 1 u 3 + α 2 u 4 + … + α n - 1 u 1 + α n u 2

E se aplicarmos mais uma vez? Iremos obter...

T 3 v = α 1 u 4 + α 2 u 5 + … + α n - 1 u 2 + α n u 3

Conseguiram visualizar a lógica do que está acontecendo? Se nós aplicarmos n - 1 vezes a transformação, iremos obter:

T n - 1 v = α 1 u n + α 2 u 1 + … + α n - 1 u n - 2 + α n u n - 1

Observem que T n - 1 v ≠ I v . Assim, acabamos de verificar uma parte do que a questão nos pediu. Por fim, se aplicarmos n vezes a transformação T , obteremos:

T n v = T α 1 u n + α 2 u 1 + … + α n - 1 u n - 2 + α n u n - 1

T n v = α 1 T u n + + α 2 T u 1 + … + α n - 1 T u n - 2 + α n T u n - 1

T n v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n - 1 u n - 1 + α n u n = I v = v

E assim, provamos que T n v = I v , finalizando assim a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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