Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base, u → = 1 ,   2 ,   - 1 E , f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 , f → 3 = 4 e → 2 + 3 e → 3 .

a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 é base?

b) Nas condições do item (a), calcule m para que u → = 0 ,   1 ,   0 F .

Passo 1

O primeiro passo é escrever os vetores f → i com as coordenadas na base E :

f → 1 = ( 1 ,   1 ,   1 )

f → 2 = m ,   2 m ,   - 1

f → 3 = ( 0 ,   4 ,   3 )

Assim, o determinante das coordenadas é

D = 1 1 1 m 2 m - 1 0 4 3 = 6 m + 4 - 3 m + 4 m = 7 m + 4

Para que F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 seja base, ele deve ser LI, de modo que o determinante deve ser diferente de zero:

7 m + 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ - 4 7

Passo 2

Agora temos que achar m para que u → = 0 ,   1 ,   0 F . Já sabemos que na base E , u → = 1 ,   2 ,   - 1 E . A sacada aqui é escrever u na base E e fazer a comparação!

Sabemos que

u → = 0 ,   1 ,   0 F = f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 = m ,   2 m ,   - 1 E

Assim,

m ,   2 m ,   - 1 = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Desta forma, obtemos que

m = 1

Resposta

m ≠ - 4 7

m = 1

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