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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 7.Exercício - Ex. 17

Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 uma base, u → = 1 ,   2 ,   - 1 E , f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 , f → 3 = 4 e → 2 + 3 e → 3 .

a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 é base?

b) Nas condições do item (a), calcule m para que u → = 0 ,   1 ,   0 F .

Passo 1

O primeiro passo é escrever os vetores f → i com as coordenadas na base E :

f → 1 = ( 1 ,   1 ,   1 )

f → 2 = m ,   2 m ,   - 1

f → 3 = ( 0 ,   4 ,   3 )

Assim, o determinante das coordenadas é

D = 1 1 1 m 2 m - 1 0 4 3 = 6 m + 4 - 3 m + 4 m = 7 m + 4

Para que F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 seja base, ele deve ser LI, de modo que o determinante deve ser diferente de zero:

7 m + 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ - 4 7

Passo 2

Agora temos que achar m para que u → = 0 ,   1 ,   0 F . Já sabemos que na base E , u → = 1 ,   2 ,   - 1 E . A sacada aqui é escrever u na base E e fazer a comparação!

Sabemos que

u → = 0 ,   1 ,   0 F = f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 = m ,   2 m ,   - 1 E

Assim,

m ,   2 m ,   - 1 = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Desta forma, obtemos que

m = 1

Resposta

m ≠ - 4 7

m = 1

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Escreva vec t = ( 4 , 0 , 13 ) como combinação linear de vec u = (1 , - 1 , 3) , vec v = (2 , 1 , 3) , vec w = ( - 1 , - 1 , 4 ) .
Sejam u → ,v → e w → como no exercício 7-3. Verifique se u → é combinação linear de v → ,w → .
vec u = ( 1 , - 1 , 3 ) pode ser escrito como combinação linear de vec v = (- 1 , 1 , 0) , vec w = (2 , 3 , (1)/(3)) ?
Sendo u → = 1 ,- 1 ,3 ,v → = 2 ,1 ,3 ,w → = ( - 1 ,- 1 ,4 ) , determine a tripla de coordenadas de:a) u → + v → b) u → - 2 v → c) u → + 2 v → - 3 w →
Seja E = ( vec e_1 , vec e_2 , vec e_3 ) uma base. Sabendo que (x , y , x - y)_E = (x^2 , y^2 , x + y)_E , calcule x^2 + y^2 - x .