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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 2

Seja

m = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

O numero t r .   m =   a 1   + b 2   +   c 3 (soma dos elementos da diagonal principal) chama-se o traço da matriz m. Prove que t r   m . n   =   t r   n m . Conclua que se p é invertível então t r ( p - 1   m . p ) =   t r   .   m .

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Lembrando que a matriz invertível é aquela em seu produto pela matriz é igual ao valor de uma matriz identidade.

E uma matriz identidade de ordem 3, é igual

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Assim, para resolver esta questão, vamos escolher uma matriz n qualquer para demonstrar o enunciado dado na questão.

n = r 1 s 1 t 1 r 2 s 2 t 2 r 3 s 3 t 3

Passo 2

O próximo passo para prova essa equação   t r   m . n   =   t r   n m é resolver cada um dos termos das igualdades.

t r   m . n = t r a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3   r 1 s 1 t 1 r 2 s 2 t 2 r 3 s 3 t 3

t r   ( m . n )   = t r a 1 r 1 + b 1 r 2 + c 1 r 3   a 1 s 1 + b 1 s 2 + c 1 s 3 a 1 t 1 + b 1 t 2 + c 1 t 3 a 2 r 1 + b 2 r 2 + c 2 r 3 a 2 s 1 + b 2 s 2 + c 2 s 3 a 2 t 1 + b 2 t 2 + c 2 t 3 a 3 r 1 + b 3 r 2 + c 3 r 3 a 3 s 1 + b 3 s 2 + c 3 s 3 a 3 t 1 + b 3 t 2 + c 3 t 3  

t r   m . n = a 1 r 1 + b 1 r 2 + c 1 r 3   + a 2 s 1 + b 2 s 2 + c 2 s 3 + a 3 t 1 + b 3 t 2 + c 3 t 3

Passo 3

Como no passo anterior é resolver o outro lado da igualdade,

t r   n m = t r   r 1 s 1 t 1 r 2 s 2 t 2 r 3 s 3 t 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3  

t r   ( n m ) = t r r 1 a 1 + r 2 b 2 + r 3 c 1   s 1 a 1 + s 2 b 1 + s 3 c 1 t 1 a 1 + t 2 b 1 + t 3 c 1 r 1 a 2 + r 2 b 2 + r 3 c 2 s 1 a 2 + s 2 b 2 + s 3 c 2 t 1 a 2 + t 2 b 2 + t 3 c 2 r 1 a 3 + r 2 b 3 + r 3 c 3 s 1 a 3 + s 2 b 3 + s 3 c 3 t 1 a 3 + t 2 b 3 + t 3 c 3

t r   n m =   r 1 a 1 + r 2 b 2 + r 3 c 1 + s 1 a 2 + s 2 b 2 + s 3 c 2 +   t 1 a 3 + t 2 b 3 + t 3 c 3

Como se trata da multiplicação entre os coeficientes, é possível mostrar que o traço é mesmo,

t r   m . n   =   t r   n m

a 1 r 1 + b 1 r 2 + c 1 r 3   + a 2 s 1 + b 2 s 2 + c 2 s 3 + a 3 t 1 + b 3 t 2 + c 3 t 3     =   r 1 a 1 + r 2 b 2 + r 3 c 1 + s 1 a 2 + s 2 b 2 + s 3 c 2 +   t 1 a 3 + t 2 b 3 + t 3 c 3

Passo 4

Além do passo anterior é preciso demonstra outra situação dada na questão t r ( p - 1   m . p ) =   t r   .   m .

Assim, para resolver esta situação, vamos escolher uma matriz p qualquer para demonstrar o enunciado dado na questão.

p = 1 2 0 0 1 0 0 0 1

E como também descobri o valor da matriz qual o valor da matriz p - 1 .

Para descobri, será usado a seguinte relação,

p . p - 1 = I

1 2 0 0 1 0 0 0 1 .   x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

x 1 + 2 y 1 x 2 + 2 y 2 x 3 + 2 y 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

Com isso em mente, é possível encontrar um sistema de equações para determinar os coeficientes da matriz p - 1 .

O sistema é montado igualando os termos das matrizes, visto que, se trata de uma igualdade.

x 1 + 2 y 1 = 1 ;         x 2 + 2 y 2 = 0 ;             x 3 + 2 y 3 = 0

y 1 = 0 ;       y 2 = 1 ;         y 3 = 0

z 1 = 0 ;         z 2 = 0 ;         z 3 = 1 ;

Podemos concluir efetuando a multiplicação entres as matrizes, os valores dos coeficientes da matriz p - 1 ,

p - 1 = 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1    

Vamos para o próximo passo e calcular o traço

Passo 5

Calculando o traço de,

t r ( p - 1   m . p ) =   t r   .   m .

t r p - 1   m . p = t r 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 1 2 0 0 1 0 0 0 1     .  

t r p - 1   m . p = t r 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 a 1 2 a 1 + b 1 c 1 a 2 2 a 2 + b 2 c 2 a 3 2 a 3 +   b 3 c 3  

t r p - 1   m . p = t r a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3

t r p - 1   m . p = a 1 + b 2 + c 1

E como dito na questão o   t r   . m é igual a 1 + b 2 + c 1

Resposta

Então, podemos concluir e provar as seguintes igualdades,

t r   m . n   =   t r   n m

t r ( p - 1   m . p ) =   t r   .   m .

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

Exercícios de Livros Relacionados

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Mostre que se α é um escalar e A é uma matriz nxn, então det ⁡ α A =α n det ⁡ ( A ) .
Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det ( A ) = +- 1
Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:b) a 11 + a 12 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 21 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 31 - a 32 a 33
Mostre que o determinante de Vandermonde é dado por V n = det ⁡ 1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1 1 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ 1 ⋮ x n ⋮ x n 2 ⋮ … x n n - 1 = ∏ ij ( x i - x j ) A expressão à direita significa o p