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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 12

Determinar todos os operadores lineares F do R 2 tais que F 2 = F (operador nulo) e que F x , y = a x , b x + c y .

Passo 1

Primeiro, o que é F 2 ? Quando falamos sobre operadores, temo que por definição

F 2 ≡ ( F ο F )

Assim tome que

F 2 x , y = F a x , b x + c y = a a x , b a x + c b x + c y

Na qual

F 2 x , y = a 2 x ,   b a x + b c x + c 2 y = a x , b x + c y

Ou seja

a 2 x = a x b a + b c x + c 2 y = b x + c y

Passo 2

Então pra primeira temos que a = 1 . E a segunda temos que

b + b c = b c 2 = c

Que nos da b c = 0 e c = 0   o u   1 . Logo se c = 0 então b = b e se c = 1 então b = 0 . Desta forma, nossos possíveis operadores são:

  1. F x , y = ( x , b x ) com a = 1 , b = b e c = 0
  2. F x , y = ( x , y ) com a = 1 , b = 0 e c = 1

Resposta

F x , y = x , b x

F x , y = ( x , y )

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