14. Seja T : R 2 → R 2 o operador linear dado pela fórmula

T x , y = 2 x - y , - 8 x + 4 y

Em cada caso, decida se o vetor está em I m T .

(a) 1 , - 4

(b) 5,0

(c) - 3,12

Passo 1

Só precisamos ver se existem valores de x e y que satisfaçam:

(a)

T x , y = 1 , - 4

2 x - y , - 8 x + 4 y = 1 , - 4

Fica o sistema:

2 x - y = 1 - 8 x + 4 y = - 4  

Multiplicando a primeira linha por 4:

8 x - 4 y = 4 - 8 x + 4 y = - 4  

Somando:

0 = 0

Isso quer dizer que quaisquer que sejam x e y , o sistema é verdade.

Então o vetor está em I m T .

Passo 2

(b) T x , y = 5,0

2 x - y , - 8 x + 4 y = 5,0

Fica o sistema:

2 x - y = 5 - 8 x + 4 y = 0  

Multiplicando a primeira linha por 4:

8 x - 4 y = 20 - 8 x + 4 y = 0  

Somando:

0 = 20

Como isso não é verdade,

Então o vetor não está em I m T

Passo 3

(c)

T x , y = - 3 , 12

2 x - y , - 8 x + 4 y = - 3 , 12

Fica o sistema:

2 x - y = - 3 - 8 x + 4 y = 12  

Multiplicando a primeira linha por 4:

8 x - 4 y = - 12 - 8 x + 4 y = 12  

Somando:

0 = 0

Isso quer dizer que quaisquer que sejam x e y , o sistema é verdade.

Então o vetor está em I m T .

Resposta

(a) e (c)

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