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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 46

Classificar os seguintes subconjuntos do R^2 em L I ou L D .

  1. {(1,3)}
  2. { (1,3) , (2,6) }
  3. {(2 , - 1) , (3,5)}
  4. { (1 , 0) , (- 1,1) , (3,5) }

Passo 1

Classificar essa parada é moleza! É só a gente procurar alguma combinação linear dos vetores que dê 0 . Se acharmos, eles são L D , mas se a única solução for com todos os coeficientes nulos, eles são L I . Bora lá!

  1. {(1,3)} :

    2. a (1 , 3) = (0 , 0)

    Pra esse, a única solução é a = 0 , e então esse subconjunto é L I .

    Passo 2

  2. { (1,3) , (2,6) }

    3. a (1 , 3) + b (2 , 6) = ( 0 , 0 )

    {[[a + 2 b = 0],[3 a + 6 b = 0]])

    As duas equações são iguaizinhas, porque simplificando a segunda, chegamos na primeira. A relação entre os coeficientes é a = - 2 b . E isso não serve só pra a = b = 0 , serve também pra vários outros, tipo a = - 2 e b = 1 . Como achamos uma combinação, eles são L D .

    Passo 3

  3. {(2 , - 1) , (3,5)}

    4. a (2 , - 1) + b (3 , 5) = (0 , 0)

    {[[2 a + 3 b = 0],[- a + 5 b = 0]])

    Da segunda equação, a = 5 b . Substituindo isso na primeira,

    2 (5 b) + 3 b = 0

    13 b = 0

    b = 0

    Por isso, a = 0 , e assim, como a única combinação é com valores nulos, eles são L I .

    Passo 4

  4. { (1 , 0) , (- 1,1) , (3,5) }

a (1 , 0) + b (- 1 , 1) + c (3 , 5) = (0 , 0)

{[[a - b + 3 c = 0],[b + 5 c = 0]])

Da segunda equação, b = - 5 c . Substituindo na primeira:

a - (- 5 c) + 3 c = 0

a = - 8 c

E por isso, a gente tem uma infinidade de valores que servem, por exemplo a = - 8 , b = - 5 e c = 1 . Assim, eles são L D .

Resposta

  1. L I
  2. L D
  3. L I
  4. L D
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