Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 16
Sejam uma matriz e uma matriz . Mostre que o conjunto de vetores para os quais o sistema tem solução é um subespaço de . Ou seja, mostre que o conjunto
é um subespaço de .
Passo 1
Eaew, tudo em cima?
Vamos lembrar a definição de um subespaço, beleza? Se nós temos uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo , em que respeita as seguintes propriedades:
a) Se e pertencem a , então também pertence a .
b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .
Se temos um subconjunto não vazio que obedece a) e b), então ele é um subespaço do . Belezinha? Isso já é o suficiente para demonstrarmos o que precisamos, bora lá!
Passo 2
Primeiramente temos que deve ser uma matriz nesta perspectiva, ou seja, uma coluna com linhas, para que o produto entre a matriz , que é , resulte na matriz , que é . Vamos então supor a existência de uma segunda matriz , que também é , e construir o seguinte:
Será que também obedece a mesma relação? Vamos verificar! Saca só
Portanto, temos a relação Como ambos e pertencem ao , temos que a propriedade aditiva é válida! Vamos verificar a próxima propriedade.
Passo 3
Agora precisamos introduzir um novo vetor construído da forma , como estamos apenas multiplicando por um escalar, temos que . Nós temos então que:
Novamente, temos a relação e Como ambas propriedades, a) e b), nos levam a relação , quando tratamos do conjunto , então temos que é um subconjunto de . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!
Resposta
Ao longo dos passos.