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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 56

Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 .

  1. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 }
  2. { 3 ,   - 6 ,   - 4 ,   8 }
  3. { 0 ,   0 ,   2 ,   3 }
  4. { 3 ,   - 1 ,   2 ,   3 }

Passo 1

A gente já sabe que um conjunto de dois vetores do R 2 forma base do R 2 quando eles são L I . Aqui no caso do R 2 , a gente pode dizer que os vetores são L I quando não são múltiplos um do outro, já que a combinação linear deles é:

a u + b v = 0

u = - b a v

Ou seja, se eles forem múltiplos, são L D . Queremos então os pares de vetores que não são múltiplos, porque aí estamos achando os vetores L I . Bora lá!

Passo 2

  1. { 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 }

    2. Dá pra gente ver de cara que não são múltiplos um do outro, porque - 1 = - ( 1 ) , mas 3 = 3 2 ( 2 ) . Então esses são L I e formam base do R 2 .

    Passo 3

  2. { 3 ,   - 6 ,   - 4 ,   8 }

    3. Aqui os vetores são L D , porque:

    - 4 ,   8 = - 4 3 ( 3 ,   - 6 )

    Por isso, não forma base do R 2 .

    Passo 4

  3. { 0 ,   0 ,   2 ,   3 }

    4. Todo conjunto que tem o vetor nulo é L D , porque qualquer que seja o coeficiente dele na combinação linear, vamos chegar no 0 se botarmos os coeficientes dos outros vetores iguais a 0 . Por isso, essa é L D e não forma base do R 2 .

    Passo 5

  4. { 3 ,   - 1 ,   2 ,   3 }

Os vetores são L I , já que não são múltiplos um do outro. Por isso, esse conjunto forma base do R 2 .

Resposta

a e d formam base do R 2 .

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37. Sejam os vetores v 1 = 1,1 , 1 , v 2 = 1,2 , 0 e v 3 = 1,3 , - 1 . Se 3 , - 1 , k ∈ v 1 , v 2 , v 3 , qual o valor de k ?
Determine os valores de a para os quais { a 2 , 0,1 , 0 , a , 2 , 1,0 , 1 } e uma base do R 3 .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para o R 4 ?a) 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 1,1 ; b) 1 , - 1,0 , 2 , 3 , - 1,2 , 1 , 1,0 , 0,1 ; c) 0,0 , 1,1 , - 1,1 , 1,2 , 1,1
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