Enunciado

Seja o espaço vetorial M ( 2 ,   2 ) . Determinar o subespaço gerado pelos vetores:

v 1 = - 1 0   0 1

v 2 =   1 - 1 0   0

v 3 = 0 1 1 0

Passo 1

Qualquer vetor do subespaço gerado pelos vetores vai ser uma combinação linear desses vetores, certo? Então podemos escrever assim:

v = a v 1 + b v 2 + c v 3

x y z t = a - 1 0   0 1 + b 1 - 1 0   0 + c 0 1 1 0

x y z t = - a + b - b + c c a

Essa equação de matrizes vai nos dar um sistema:

x = - a + b y = - b + c z = c t = a

Passo 2

É desse sistema que a gente vai tirar a equação do nosso subespaço! A gente precisa eliminar a e b e relacionar x , y , z e t . Substituindo a terceira e a quarta equações na primeira e na segunda:

x = - t + b

y = - b + z

Agora soma as duas!

x + y = - t + z

Que pode ser reescrito como:

x + y - z + t = 0

Olha só que sorte, foi moleza de eliminar a e b . Essa aí é a equação do nosso subespaço!

Passo 3

Por isso, a nossa definição do subespaço vai ser:

x y z t ; x + y - z + t = 0

Resposta

x y z t ; x + y - z + t = 0

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