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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 3

Seja P   =   ( m ,   a m ²   ) um ponto da parábola y   =   a x ² . Prove que a única reta não-vertical (portanto não-paralela ao eixo da parábola) que tem apenas o ponto P em comum com essa curva é y   =   a m ²   +   2 a m ( x   -   m ) .  

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício em especifico se trata de uma demonstração totalmente algébrica

Preparado?

Inicialmente quando a curva e a parábola se intercepção em apenas um ponto dizemos que são tangente, beleza!

Vamos começar então!

Temos que encontrar a curva y   =   a m ²   +   2 a m ( x   -   m ) .   Que é tangente a parábola no ponto ( m ,   a m 2 )  

Vamos começar considerando que a família de retas que passam pelo ponto ( m , a m ² ) será dada através do coeficiente angular como:

Y   –   a m ²   =   m   (   x + m )

Y   =   m x + m ² + a m ²

Como queremos uma reta tangente, então existe apenas um ponto de interseção, logo:

m x + m ² + a m ²     =   a x ²

-   a x 2 + m x + m ² + a m ² =   0  

-   a x 2 + m x + m ² ( 1 + a ) =   0  

Passo 2

Como queremos apenas 1 ponto ou apenas uma solução, sabemos que para isso ocorrer em uma equação da parábola ∆ = 0

-   a x 2 + m x + m ² ( 1 + a ) =   0  

Temos que calcular o ∆

∆ = b 2 - 4 a c  

∆ =   m 2 - 4 - a .   m ² ( 1 + a )  

∆ = m 2 + 4 a m 2 + 4 a ² m

∆ = m 2 + 4 a m 2 + 4 a ² m  

0 = m 2 ( 1 + 4 a ) + 4 a ² m

Até aí tranquilo?

Vamos resolver essa equação agora!

m = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

m = - ( 4 a ² m ) ± ( 4 a ² m ) 2 - 4   . m 2 1 + 4 a . 0 2 . ( 1 + 4 a )

m = - 4 a ² m ± ( 4 a m ² ) 2   - 0   2 . ( 1 + 4 a )

m = - 4 a ² m ± 4 a ² m 2 + 8 a

m 1 = - 4 a 2 m + 4 a ² m 2 + 8 a = 0  

m 2 = - 4 a 2 m - 4 a ² m 2 + 8 a = - 8 a ² m 2 + 8 a =   - 8 a ² m 2 ( 1 + 4 a ) =   - 4 a ² m 1 + 4 a

Escrevendo a equação teremos:

Y   =   m x + m ² + a m ²

Y   =   - 4 a ² m 1 + 4 a x + ( - 4 a 2 m 1 + 4 a ) ² + a ( - 4 a 2 m 1 + 4 a ) ²

Simplificando teremos

y   =   a m ²   +   2 a m ( x   -   m ) .  

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

y   =   a m ²   +   2 a m ( x   -   m ) .  

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