Três vetores u, v, w têm o mesmo comprimento e cada um deles forma com o seguinte um ângulo de 120°. Se u = (5, 7), quais são as coordenadas de v e w?

Passo 1

Como sabemos, a rotação R de ângulo θ em torno da origem leva um vetor v = (x, y) no vetor Rv = (x’, y’), com coordenadas:

X’= x cos θ − y sen θ

Y’ = x sen θ + y cos θ

Passo 2

Assim, o vetor v será o vetor u = (5, 7) rotacionado de 120°:

V=(x’,y’)

X’= 5 cos 120° − 7 sen 120°

Y’ = 5 sen 120° + 5 cos 120°

Como sen 120°= 3 2 e cos 120°= - 1 2

Então:

X’= 5( - 1 2 ) − 7( 3 2 )

Y’ = 5( 3 2 )+ 5( - 1 2 )

Logo, as coordenadas de v são:

V=( - 5 2   7 3 2 , 5 3 2 + - 5 2 )

Passo 3

Para o vetor w, usaremos o mesmo raciocínio.

Assim, o vetor w será o vetor v = =( - 5 2   7 3 2 , 5 3 2 + - 5 2 ) rotacionado de 120°:

V=(x’’,y’’)

X’’= ( - 5 2   7 3 2 ) cos 120° − ( 5 3 2 + - 5 2 ) sen 120°

Y’’ = ( - 5 2   7 3 2 ) sen 120° + ( 5 3 2 + - 5 2 ) cos 120°

Como sen 120°= 3 2 e cos 120°= - 1 2

Então:

X’’= ( - 5 2   7 3 2 ) ( - 1 2 ) − ( 5 3 2 + - 5 2 ) 3 2

Y’’ = ( - 5 2   7 3 2 ) 3 2 + ( 5 3 2 + - 5 2 ) ( - 1 2 )

Fazendo a distributiva:

X’’= ( 5 4   + 7 3 4 ) − ( 15 4 + - 5 3 4 )

Y’’ = ( - 5 3 4   21 4 ) + ( - 5 3 4 + 5 4 )

Simplificando:

X’’= 3 2 5 2

Y’’ = - 5 3 2   − 4

Logo, as coordenadas de w são:

W= ( 3 2 5 2 , - 5 3 2   − 4)

Resposta

V=( - 5 2   7 3 2 , 5 3 2 + - 5 2 )

W= ( 3 2 5 2 , - 5 3 2   − 4)

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