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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 11

Os vértices de um triângulo são os pontos A ( - 1 ,   1 ,   3 ) , B ( 2 ,   1 ,   4 ) e C ( 3 ,   - 1 ,   - 1 ) . Obter equações paramétricas dos lados A B , A C e B C , e da reta r que contém a mediana relativa ao vértice   B .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

As equações paramétricas de uma reta são:

r : x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto que pertence à reta. E também temos que v → = ( a , b , c ) é o vetor paralelo à essa reta. Então precisamos de um vetor e um ponto para cada uma das retas.

Passo 2

Para a reta que passa pelos pontos A ( - 1 ,   1 ,   3 ) e B ( 2 ,   1 ,   4 ) . O vetor pode ser um que leve do ponto A até o ponto B , então o vetor v → é:

v → = B - A = 2,1 , 4 - - 1,1 , 3 = ( 3,0 , 1 )

E o ponto vou usar o A ( - 1 , 1,3 ) , assim as equações paramétricas dessa reta são:

r A B : x = - 1 + 3 t y = 1 z = 3 + t

Passo 3

Para a reta que passa pelos pontos B ( 2 ,   1 ,   4 ) e C ( 3 ,   - 1 ,   - 1 ) . O vetor pode ser um que leve do ponto C até o ponto B , então o vetor v → é:

v → = B - C = 2,1 , 4 - 3 , - 1 , - 1 = ( - 1,2 , 5 )

E o ponto vou usar o B ( 2 ,   1 ,   4 ) ,assim as equações paramétricas dessa reta são:

r B C : x = 2 - t y = 1 + 2 t z = 4 + 5 t

Passo 4

Para a reta que passa pelos pontos A ( - 1 ,   1 ,   3 ) e C ( 3 ,   - 1 ,   - 1 ) . O vetor pode ser um que leve do ponto C até o ponto A , então o vetor v → é:

v → = A - C = - 1 ,   1 ,   3 - 3 , - 1 , - 1 = ( - 4,2 , 4 )

E o ponto vou usar o A ( - 1 ,   1 ,   3 ) ,assim as equações paramétricas dessa reta são:

r A C : x = - 1 - 4 t y = 1 + 2 t z = 3 + 4 t

Passo 5

Ufa! Estamos quase lá! Agora a mediana relativa ao vértice B , significa que passa pelo ponto B e corta o segmento A C no seu ponto médio! Então o ponto nós já temos, que é o B ( 2 , 1,4 ) . Agora queremos um vetor que tenha a mesma direção que essa mediana. Bom, podemos construir um vetor que vá do ponto B até o ponto médio dos pontos A ( - 1 ,   1 ,   3 ) e C ( 3 ,   - 1 ,   - 1 ) , certo?

Lembrando que o ponto médio é:

M = x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 ; z 1 + z 2 2

Então vamos começar calculando esse ponto médio:

M A C = - 1 + ( 3 ) 2 ; 1 + ( - 1 ) 2 ; 3 + ( - 1 ) 2

M A C = ( 1,0 , 1 )

E agora podemos construir o vetor que liga esses dois pontos:

v → = 1,0 , 1 - 2,1 , 4 = ( - 1 , - 1 , - 3 )

Quase lá! Agora é só juntar o vértice B e o vetor v → pra fazer as equações paramétricas da reta r :

r : x = 1 - t y = - t z = 1 - 3 t

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

r A B : x = - 1 + 3 t y = 1 z = 3 + t

r B C : x = 2 - t y = 1 + 2 t z = 4 + 5 t

r A C : x = - 1 - 4 t y = 1 + 2 t z = 3 + 4 t

r : x = 1 - t y = - t z = 1 - 3 t

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