6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .

a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e t   s e n   t são soluções da equação diferencial L y = 0 .

b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.

c) Qual é a solução geral da equação y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 ?

d) Dentre as soluções existe uma, e apenas uma que satisfaz as condições f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 . Ache-a.

Passo 1

d) Vamos pegar a solução geral:

f t = e t α cos ⁡ t + β   sen ⁡ t

E como a outra condição é uma derivada, vamos derivar também: (não esquece da regra da cadeiaaa...)

f ' t = e t α cos ⁡ t + β   sen ⁡ t + e t - α sen ⁡ t + β cos ⁡ t

f ' t = e t α + β cos ⁡ t + - α + b sen ⁡ t

Passo 2

Vamos substituir as condições:

A primeira:

f 0 = 1

1 = e 0 α cos ⁡ 0 + β   sen ⁡ 0

α = 1

A segunda:

f ' 0 = - 1

- 1 = e 0 1 + β cos ⁡ 0 + - 1 + β sen ⁡ 0

β = - 2

Então a solução fica:

f t = e t cos ⁡ t - 2   sen ⁡ t

Resposta

f t = e t cos ⁡ t - 2   sen ⁡ t

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