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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 32a

Seja A x = b o sistema 4 x + y + x + w = 6 3 x + 7 y - z + w = 1 7 x + 3 y - 5 z + 8 w = - 3 x + y + z + 2 w = 3 . Resolva o sistema pela regra de Cramer

Passo 1

Para usar a regra de Cramer, precisamos verificar se o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Para isso:

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 ≠ 0

Para matrizes 4 × 4 , o determinante pode ser calculado escalonando a matriz até que só tenha zeros abaixo da diagonal principal. Assim, seu determinante é o produto da diagonal principal:

4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 → L 2 → L 2 - 3 4 L 1 L 3 → L 3 - 7 4 L 1 L 4 → L 4 - 1 4 L 1 4 0 0 0 1 25 / 4   5 / 4 3 / 4 1 - 7 / 4 - 27 / 4 3 / 4 1 1 / 4 25 / 4 7 / 4

4 0 0 0 1 25 / 4   5 / 4 3 / 4 1 - 7 / 4 - 27 / 4 3 / 4 1 1 / 4 25 / 4 7 / 4 → L 3 → L 3 - 1 5 L 2 L 4 → L 4 - 3 25 L 2 4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 24 / 25 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25

4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 24 / 25 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25 → L 4 → L 4 + 3 20 L 3 4 0 0 0 1 25 / 4   0 0 1 - 7 / 4 - 32 / 5 0 1 1 / 4 31 / 5 43 / 25

Logo,

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 = 4 × 25 4 × - 32 5 × 43 20

det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 = - 424

Como det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 ≠ 0 , então a regra de Cramer é aplicável

Passo 2

Agora temos que calcular as incógnitas x , y , z e w . Para cada uma das incógnitas, temos uma matriz que a gente muda a coluna pela matriz b = 6 1 - 3 3 . Então, temos:

A x = 6 1 - 3 3 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 A z = 4 3 7 1 1 7 3 1 6 1 - 3 3 1 1 8 2 A y = 4 3 7 1 6 1 - 3 3 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2 A w = 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 6 1 - 3 3

Passo 3

Calculando o determinante de cada uma das matrizes, temos:

det ⁡ A x = - 424 det ⁡ A z = - 848 det ⁡ A y = 0 det ⁡ A w = 0

Passo 4

Agora, vamos usar a regra de Cramer pra achar o valor das incógnitas:

x = d e t ⁡ ( A x ) det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2         →           x = - 424 - 424       ∴         x = 1

y = d e t ⁡ ( A y ) det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2         →           y = 0 - 424       ∴         y = 0

z = d e t ⁡ ( A x ) det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2         →           z = - 848 - 424       ∴         z = 2

w = d e t ⁡ ( A x ) det ⁡ 4 3 7 1 1 7 3 1 1 - 1 - 5 1 1 1 8 2         →           w = 0 - 424       ∴         w = 0

Resposta

x = 1 , y = 0 , z = 2 e w = 0

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