Encontre os valores de k com os quais A é invertível.

A = ([[1,2,0],[k,1,k],[0,2,1]])

Passo 1

Para essa questão, o grande objetivo é calcular o determinante e verificar se ele é diferente de zero.

Se det (A) != 0 , a matriz é invertível. Caso contrário, ela não é invertível

Com isso, vamos achar uma equação que relacione o fator k com a condição para que seja invertível e calcular os valores para que isso aconteça.

Passo 2

Após estabelecermos a condição para que A seja invertível, vamos calcular o determinante usando o Teorema de Laplace.

A = ([[1,2,0],[k,1,k],[0,2,1]])

det (A) = 1 |[[1,k],[2,1]]| - 2 |[[k,k],[0,1]]| + 0 |[[k,1],[0,2]]|

det (A) = 1 ((1) - (2 k)) - 2 ((k) - (0)) + 0 ((2 k) - (k 0))

det (A) = 1 - 2 k - 2 k

det (A) = 1 - 4 k

Passo 3

Para acharmos um valor de k tal que a matriz A seja invertível, vamos resolver a equação para det (A) != 0

1 - 4 k != 0

Resolvendo, temos:

1 - 4 k != 0 -> 4 k != 1 -> k = 1 // 4

Resposta

Os valores de k para que a matriz seja invertível são k != 1 // 4

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