Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 18

Encontre os valores de k com os quais A é invertível.

A = ([[1,2,0],[k,1,k],[0,2,1]])

Passo 1

Para essa questão, o grande objetivo é calcular o determinante e verificar se ele é diferente de zero.

Se det (A) != 0 , a matriz é invertível. Caso contrário, ela não é invertível

Com isso, vamos achar uma equação que relacione o fator k com a condição para que seja invertível e calcular os valores para que isso aconteça.

Passo 2

Após estabelecermos a condição para que A seja invertível, vamos calcular o determinante usando o Teorema de Laplace.

A = ([[1,2,0],[k,1,k],[0,2,1]])

det (A) = 1 |[[1,k],[2,1]]| - 2 |[[k,k],[0,1]]| + 0 |[[k,1],[0,2]]|

det (A) = 1 ((1) - (2 k)) - 2 ((k) - (0)) + 0 ((2 k) - (k 0))

det (A) = 1 - 2 k - 2 k

det (A) = 1 - 4 k

Passo 3

Para acharmos um valor de k tal que a matriz A seja invertível, vamos resolver a equação para det (A) != 0

1 - 4 k != 0

Resolvendo, temos:

1 - 4 k != 0 -> 4 k != 1 -> k = 1 // 4

Resposta

Os valores de k para que a matriz seja invertível são k != 1 // 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 , … ,α k escalares, então det(A) = 0.
Mostre que se uma matriz A =( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ ( A ) =a 11 a 22 … a n n .
Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir: a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?
Mostre que A, nxn, é invertível se, e somente se, A t A é invertível.