Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 22
Seja o subespaço do , gerado por e o subespaço de , gerado por . Mostre que .
Passo 1
Fala meu querido, no caso dessa questão temos dois subespaços vetoriais e cada um com sua base e queremos mostrar que todos os vetores do podem ser escritos como uma soma de um elemento de e um elemento de .
Passo 2
Podemos escrever as bases desses subespaços vetoriais como:
Os elementos de são da forma:
E os elementos de da forma:
Passo 3
Vamos pensar agora em um elemento genérico de que possuem a forma:
Podemos montar a seguinte equação vetorial:
E dessa equação conseguimos montar o sistema:
Queremos provar que esse sistema sempre possui solução.
Passo 4
A matriz dos coeficientes é:
Ela é triangular inferior, e podemos calcular seu determinante como . Se fossemos calcular nossas incógnitas pela Regra de Cramer, perceberíamos que é sempre possível dividir qualquer número por 1, então esse sistema é sempre possível!
Então sempre vamos conseguir escrever um vetor qualquer do como soma de vetores de .
Resposta
Sim, é possível escrever como a soma de .