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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 3a

Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:

  1. a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32

Passo 1

Vamos para mais uma questão:

Inicialmente, vamos reescrever o determinante da matriz desejada de forma que:

det a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + det a 11 a 12 a 12 a 21 a 22 a 22 a 31 a 32 a 32

Passo 2

Como sabemos que A é uma matriz 3x3 com determinante igual a 3:

det(a) = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 3

Além disso:

det a 11 a 12 a 12 a 21 a 22 a 22 a 31 a 32 a 32 =

a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 + a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 + a 12 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 12 ∙ a 22 ∙ a 31 - a 12 ∙ a 21 ∙ a 32 - a 11 ∙ a 22 ∙ a 32 = 0

Passo 3

Substituindo no passo 1:

det a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 = det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 + det a 11 a 12 a 12 a 21 a 22 a 22 a 31 a 32 a 32

det a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 = 3 + 0

det a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 = 3

Resposta

det a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32 = 3

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