Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 20c
Mostre que se uma linha de uma matriz A = é tal que , para escalares, então det(A) = 0.
Passo 1
A questão nos deu que:
Ou seja, a linha i é a soma da linha k, k vezes, multiplicada por algum escalar. Nesse sentido, a linha i é uma combinação linear dos múltiplos da linha k.
Passo 2
Sabemos que é possível modificar as linhas de uma matriz por operações elementares, de forma a obter essa mesma matriz, mas de forma escalonada. Assim, vamos supor que a matriz A é tal que:
Como temos que
Podemos reescrever a matriz como:
Realizando a seguinte operação elementar:
Obteríamos:
Em seguida, realizando a seguinte operação elementar:
Fazendo essa mesma operação para todos os múltiplos , chegaríamos em
Passo 3
Como teríamos toda uma linha composta por elementos iguais a zero, isso implicaria que
det(A) = 0
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.
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