Seja u,v,w vetores linearmente independentes. Mostre que, para quaisquer vetores x,y,z, existe um numero A tal que det(x,y,z)= A.det(u,v,w). Conclua que o det(u,v,w ) ≠ 0 , obtendo assim nova demonstração da propriedade 7.[Exprima x,y,z como combinação lineares de u,v,w e use as propriedade 1,3 e 4]

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Primeiramente vamos lembrar da propriedade 7, que diz,

Det[u,v,w] ≠ 0 implica que as linhas são L.I

Com isso em mente, vamos então ao próximo passo...

Passo 2

Na questão é afirmado que que x, y, z são uma combinação linear de u,v,w. assim vamos escrever uma matriz genérica para f(u,v,w)

m = f ( u , v , w ) = a 0 0 0 b 0 0 0 c

Assim, uma combinação linar de x,y,z ficaria

det ⁡ f x , y , z = d e t ⁡ [ f x ' . u , y ' . v , z . ' w ]

a 0 0 0 b 0 0 0 c x ' 0 0 0 y ' 0 0 0 x ' ≠ 0

a 0 0 0 b 0 0 0 c x ' 0 0 0 y ' 0 0 0 x ' = a x ' b y ' c z '

Propondo um valor de A= x’y’z’,

a 0 0 0 b 0 0 0 c x ' 0 0 0 y ' 0 0 0 x ' = a b c A

Passo 3

Agora vamos encontrar o determinante apendas da função f u , v , w

d e t ⁡ [ f u , v , w ] = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Resposta

Então, podemos concluir e provar as propriedades 1,3 e 4

det ⁡ f x , y , z = det ⁡ f x ' . u , y ' . v , z . ' w = A . d e t ( u , v , w ) .

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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