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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 13

Mostre que se A e uma matriz não singular tal que A2 = A, então det(A) = 1.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de determinantes.

Para mostrar o que se pede no enunciado devemos mostrar para matrizes de algumas ordens, e assim, por indução infinita, validar para matrizes de ordem superior. Iniciando com uma matriz de ordem 1 teremos:

A = a = > A 2 = a ∙ a = a 2

S e   A 2 = A = > a 2 = a = > a 2 - a = 0 = > a a - 1 = 0 = > a = 0   o u   a = 1

C o m o   A   n ã o   é   s i n g u l a r ,   t e m o s   q u e   a ≠ 0

L o g o ,   a = 1 ,   e det ⁡ A = a = 1

Para matrizes de ordem 2 teremos:

A = a b c d = > A 2 = a b c d ∙ a b c d = a 2 + b c a b + b d a c + c d b c + d 2

S e   A 2 = A = > a 2 + b c a b + b d a c + c d b c + d 2 = a b c d

= > a 2 + b c = a ; b a + d = b ; c a + d = c ; b c + d 2 = d

= > a 2 - a = - b c ; a + d = 0 ; a + d = 0 ; d 2 - d = - b c

C a l c u l a n d o   o   d e t e r m i n a n t e   d e   A   t e m o s : det ⁡ A = a d - b c

P a r a   q u e   o   s i s t e m a   a 2 - a = - b c a + d = 0 d 2 - d = - b c   t e n h a   s o l u ç ã o ,   d e v e m o s   t e r   b = 0   o u   c = 0

C o m   e s s a   c o n d i ç ã o   i m p o s t a ,   t e r e m o s   a a - 1 = 0   e   d d - 1 = 0 ,   q u e   r e s u l t a   e m :

a = 0   o u   a - 1 ,   e   d = 0   o u   d = 1

P a r a   A   n ã o   s e r   s i n g u l a r ,   a ≠ 0   e   d ≠ 0 ,   l o g o   a = 1   e   d = 1 ,   e det ⁡ A = 1 ∙ 1 - 0 = 1

Passo 2

Como temos a validade para ordem 1, o princípio da indução infinita nos diz que haveria validade para ordem 2. Como demonstramos a validade para ordem 2, temos que o princípio indica a validade para ordem 3, e assim sucessivamente, logicamente que para cada ordem teremos sempre (pelo menos) mais uma condição na construção dos valores da matriz.

Resposta

Ver passo a passo.

Exercícios de Livros Relacionados

Provar que se A = A 1 ,. . .,A n e λ 1 , . . . , λ n ∈ R , então d e t λ 1 A 1 ,. . .,λ n A n =λ 1 , . . . , λ n ∙ d e t A .
Seja A uma matriz de ordem 3. Provar diretamente que det ⁡ A = det ⁡ A t .
Compare det ⁡ A 1 , … , A n e det ⁡ A 1 , A 1 + A 2 , A 1 + A 3 , … , A 1 + A n .
Provar que det ⁡ A = 0 sendo A = 1 cos ⁡ a c o s ⁡ 2 a cos ⁡ a cos ⁡ 2 a cos ⁡ 3 a cos ⁡ 2 a cos ⁡ 3 a cos ⁡ 4 a
Seja A uma matriz de ordem n tal que A + A t = 0 . Provar que det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A . Que acontece se n é ímpar?