Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 14
Mostre que se Ak = , para algum k inteiro positivo, então A é singular.
Passo 1
E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de determinantes.
Para mostrar o que se pede no enunciado devemos mostrar para matrizes de algumas ordens, e assim, por indução infinita, validar para matrizes de ordem superior. Iniciando com uma matriz de ordem 1 teremos:
Se k = 1 temos que:
Logo, a matriz A é singular.
Se k = 2 teremos:
Logo, a matriz A é singular.
Por indução infinita, temos que para matrizes de ordem 1, A é singular para k inteiros positivos.
Passo 2
Seguindo o mesmo padrão de procedimento, vamos usar matrizes de ordem 2:
Se k = 1, temos que:
Logo, a matriz A é singular.
Se k = 2 teremos:
Se b = 0, temos c = 0, pois:
E a matriz A2 fica reescrita:
Para que tenhamos , devemos ter a = 0 e d = 0. Logo, a matriz A é singular.
Por indução infinita, temos que para matrizes de ordem 2, A é singular para k inteiros positivos.
Passo 3
Como temos a validade para ordem 1, o princípio da indução infinita nos diz que haveria validade para ordem 2. Como demonstramos a validade para ordem 2, temos que o princípio indica a validade para ordem 3, e assim sucessivamente.
Resposta
Ver passo a passo.