Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 8
Sejam uma base e tais que , e . Prove que é base e verifique se é LI ou LD, nos casos:
a) e b) e
Passo 1
Nas outras questões nós sempre construímos a matriz de mudança de base , nesse aqui vamos fazer um pouco diferente: como os vetores da base foram dados em termos dos vetores da base , vamos construir a matriz com a relação
Os vetores da base são escritos como
Assim, as colunas de são as coordenadas desses vetores:
Para verificarmos se realmente é uma base, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero:
Portanto, é uma base!
Passo 2
Para verificarmos se é LI ou LD, temos que escrever os dois vetores na mesma base. Assim, vamos converter para a base e assim ver se eles são LI ou LD. No item (a), temos que
Assim, temos que e . Um vetor não é múltiplo do outro, de modo que o conjunto é LI nesse caso!
Passo 3
Já no item (b), temos que
Fazendo a multiplicação:
Assim, temos que e . Esses dois vetores são claramente LD pois .