Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 6

Sejam E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 duas bases tais que f → 1 = 2 e → 1 - e → 3 , f → 2 = e → 2 + 2 e → 3 e f → 3 = 7 e → 3 . Exprima o vetor u → = e → 1 + e → 2 + e → 3 na base F .

Passo 1

A questão forneceu duas bases E = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 e F = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 , sendo que

f → 1 = 2 ,   0 ,   - 1 E

f → 2 = 0 ,   1 ,   2 E

f → 3 = 0 ,   0 ,   7 E

Foi dado também o vetor u → = 1 ,   1 ,   1 E e queremos representa-lo na base F . Para isso, o primeiro passo é escrever a matriz M E F cujas colunas são os vetores f → 1 , f → 2 e f → 3 , escritos na base E :

M E F = 2 0 0 0 1 0 - 1 2 7

Passo 2

Sabemos que

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Nesse caso, temos que x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , e queremos achar ( y 1 ,   y 2 ,   y 3 ) . Assim,

2 0 0 0 1 0 - 1 2 7 ⋅ y 1 y 2 y 3 = 1 1 1

Uma forma de resolver esse problema é achar a inversa de M E F e multiplicar os dois lados da equação por ela. Mas calcular inversa é um saco, eu pelo menos odeio, então prefiro usar o bom e velho sistema!

Passo 3

Multiplicando as matrizes, obtemos

2 y 1 = 1 y 2 = 1 - y 1 + 2 y 2 + 7 y 3 = 1

Das primeiras equações já tiramos:

y 1 = 1 2           e           y 2 = 1

Substituindo na última:

- 1 2 + 2 + 7 y 3 = 1 ⇒ 7 y 3 = - 1 + 1 2 = - 1 2

Logo,

y 3 = - 1 14

Portanto,

u → = 1 2 ,   1 ,   - 1 14 F = 1 2 f → 1 + f → 2 - 1 14 f → 3

Resposta

u → = 1 2 f → 1 + f → 2 - 1 14 f → 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = a → ,b → ,c → tais que u → = 2 a → + 2 b → , v → = 2 a → - b → e w → = a → + b → - 5 c → . Prove que F é base e verifique se x → ,y → é LI ou LD, nos casos:a
Seja E = ( u → ,v → ,w → ) uma base. Verifique se existe uma base F = a → ,b → ,c → tal que a → = - 1 ,0 ,1 E , b → = 1 ,2 ,- 2 E e c → = 1 2 , 1 , 1 2 E . Caso exista, exprima os vetores de E em term
Se E = u → ,v → ,w → é base, que condições deve satisfazer m para que F = u → + v → ,m v → - w → ,u → + m w → seja base? Escreva a matriz de mudança de base de E para F .
Sejam E = ( u → ,v → ,w → ) uma base e F = v → - u → ,u → - w → ,u → . Mostre que F é base e calcule a tripla de coordenadas do vetor u → + 2 v → + 3 w → na base F .
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 bases tais que 2 e → 1 = 3f → 1 - f → 3 g → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 2 e → 2 = f → 1 + 3f → 3 g → 2 = e → 1 +