Mostrar que a matriz do operador linear identidade

em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n .

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que não importa em qual base, a matriz de transformação do operador indentidade I v = v é a matriz identidade.

Por simplicidade, vou fazer no caso 2 × 2 , mas a generalização é imediata.

Seja B = { v 1 ,   v 2 } uma base qualquer para R 2 . Temos que v 1 = 1 ,   0 B e v 2 = 0 ,   1 B .

Passo 2

Pela transformação linear, temos que

I v 1 = v 1 = 1 ,   0 B

I v 2 = v 2 = 0 ,   1 B

Assim, a matriz de transformação na base B será

I B = 1 0 0 1

Vemos que se trata da matriz identidade!

Passo 3

Para generalizar para uma dimensão n qualquer, basta tomar:

B = v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n

Para uma dado i entre 1 e n , teremos que I v i = v i , em que todas as componentes são 0 , exceto a i-ésima componente, que será 1 . Construindo a matriz de transformação, teremos exatamente a identidade!

Resposta

Demonstração.

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