Mostrar que a matriz do operador linear identidade
em uma base qualquer, é a matriz identidade .
Passo 1
A questão pede para mostrarmos que não importa em qual base, a matriz de transformação do operador indentidade é a matriz identidade.
Por simplicidade, vou fazer no caso , mas a generalização é imediata.
Seja uma base qualquer para . Temos que e .
Passo 2
Pela transformação linear, temos que
Assim, a matriz de transformação na base será
Vemos que se trata da matriz identidade!
Passo 3
Para generalizar para uma dimensão qualquer, basta tomar:
Para uma dado entre e , teremos que , em que todas as componentes são , exceto a i-ésima componente, que será . Construindo a matriz de transformação, teremos exatamente a identidade!
Resposta
Demonstração.