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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 1

Quais os subconjuntos abaixo do R 3 são linearmente independentes:

  1. 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , 2,3 , 5

  2. { 1,1 , 1 , 1,0 , 1 ,   1,0 , - 2 }

  3. 0,0 , 0 ,   1,2 , 3 ,   4,1 , - 2

  4. 1,1 , 1 ,   1,2 , 1 ,   3,2 , - 1

Passo 1

  1. 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , 2,3 , 5

Essa letra A nem precisamos fazer conta. Como estamos lidando com subconjuntos abaixo do R 3 e esse conjunto tem 4 vetores, ele será Linearmente Dependente.

Passo 2

B )     { 1,1 , 1 , 1,0 , 1 ,   1,0 , - 2 }

Para verificar se o conjunto é Linearmente Independente, utilizaremos a equação

α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

Substituindo os vetores do enunciado, temos

α 1 1,1 , 1 + α 2 1,0 , 1 + α 3 1,0 , - 2 = 0

Transformando num sistema, vamos ficar com

α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 = 0 α 1 + α 2 - 2 α 3 = 0

Escalonando o sitema, ficamos com

α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 = 0 - 2 α 3 = 0

Se você reparar esse sistema tem como única solução α 1 = α 2 = α 3 = 0 .

Assim, { 1,1 , 1 , 1,0 , 1 ,   1,0 , - 2 } é Linearmente Independente.

Passo 3

  1. 0,0 , 0 ,   1,2 , 3 ,   4,1 , - 2

Esse aqui também não precisamos fazer conta, pois qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é Linearmente Dependente.

Passo 4

  1. 1,1 , 1 ,   1,2 , 1 ,   3,2 , - 1

Para verificar se o conjunto é Linearmente Independente, utilizaremos a equação

α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

Substituindo os vetores do enunciado, temos

α 1 1,1 , 1 + α 2 1,2 , 1 + α 3 3,2 , - 1 = 0

Transformando num sistema,

α 1 + α 2 + 3 α 3 = 0 α 1 + 2 α 2 + 2 α 3 = 0 3 α 1 + 2 α 2 - α 3 = 0

Escalonando o sistema, ficamos com

α 1 + α 2 + 3 α 3 = 0 - α 2 + α 3 = 0 10 α 3 = 0

Se você reparar esse sistema tem como única solução α 1 = α 2 = α 3 = 0 .

Assim, { 1,1 , 1 ,   1,2 , 1 ,   3,2 , - 1 } é Linearmente Independente.

Resposta

  1. Não.
  2. Sim.
  3. Não.
  4. Sim.
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