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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 1a

( x 0 ,   x 1 , … ,   x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Seja S o conjunto das sequências recorrentes lineares de ordem 2 , com coeficientes a e b .

Consideramos ( x 0 , x 1 ,   ⋯ ) e ( y 0 , y 1 ,   ⋯ ) em S , e α ∈ R .

Passo 2

Vamos lá! Daí,

i )   x n + 1 + y n + 1 = a × x n + b × x n - 1 + a × y n + b × y n - 1

= a × x n + y n + b × x n - 1 + y n - 1 ∈ R

E,

i i )   α × x n + 1 = α × a × x n + b × x n - 1 = a × α × x n + b × α × x n - 1 ∈ R ∞

∀ n ≥ 1 Temos que S   é subespaço vetorial.

Passo 3

Vamos lá! Agora, vamos calcular uma base de S formada por sequências da forma σ n = q n , com q ≠ 0 .

Sendo q n uma solução, devemos ter:

q n + 1 = a × q n + b × q n - 1 ,   ∀ n ≥ 1 .

Dividindo por q n - 1 :

q 2 = a × q + b ⇒ q 2 - a × q - b = 0

⇒ q 2 - q - 2 = 0 ⇒ q 1 = 2   e   q 2 = - 1 .

Daí considere σ 1 n = 2 n e σ 2 n = - 1 n .

Observe que σ 1 e σ 2 são L .   I . E que toda sequência de S pode ser escrita como combinação linear de σ 1 , σ 2 .   Logo, σ 1 , σ 2 é uma base de S (com dimensão = 2 ).

Resposta

Portanto, 2 n , - 1 n .

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Mostrar que é subespaço de M n ( R ) o subconjunto formado pelas matrizes antissimétricas. Mostrar também que M n ( R ) é some direta dos subespaços das matrizes simétricas e das antissimétricas.
Sejam u e v dois vetores não nulos do R 2 . Se não existe nenhum t ∈ R tal que u = t v , mostrar que R 2 é soma direta dos subespaços [ u ] e [ v ] .
Sejam U , V e W subespaços vetoriais do mesmo espaço para os quis valem o seguinte: U ∩ V + W = V ∩ W = { 0 } Provar que se u + v + w = 0 , com u ∈ U , v ∈ Vew∈ W , então u = v = w = 0 .
Mostre que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.