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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 26a

Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 planos transversais, e r sua interseção.

(a) Mostre que, para todo plano π que contém r e é diferente de π 2 , existe um único número real λ tal que π : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 .

Passo 1

Precisamos mostrar que, para todo plano π que contém r e é diferente de π 2 , existe um único número real λ que satisfaça a condição definida no enunciado.

Para começarmos a resolução, vamos considerar os planos transversais π 1 e π 2 , cuja interseção define a reta r .

Passo 2

Dessa forma, nossos cálculos partirão da equação do feixe de planos que passam por uma reta. A equação, por sua vez, receberá os coeficientes dos planos. Temos, então:

π :   α a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + β a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + β α a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ⇒ β α = λ

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2

Passo 3

Agora vem o pulo do gato.

Sabemos que, devido a π ≠ π 2 ,   α ≠ 0 . Tal fato, nos dá a liberdade de dividir toda a equação por α , obtendo assim:

α a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + β a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + β α a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ⇒ β α = λ

a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2

Portanto, nessas condições, EXISTE UM ÚNICO NÚMERO REAL λ , o qual atende às exigências.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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