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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 26b

Sejam π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 planos transversais, e r sua interseção.

(b) Mostre que não existe λ real tal que π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 .

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, tomaremos como base o item (a), no qual foi provado que π : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 descreve um feixe de planos, exceto π 2 , certo?

Então, bora lá!

Passo 2

Dessa forma, como nos foi pedido para provar que NÃO EXISTE λ real que satisfaça π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 + λ a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 , basta nos apoiarmos no fato de que a própria fórmula só é possível se considerarmos que o feixe de planos não pode gerar o plano π 2 , caso óbvio se considerarmos que π 1 é um plano (todos os seus coeficientes não são simultaneamente nulos).

Passo 3

Bora pensar...

Se tais termos não serão nulos, NÃO HÁ REAL que produza múltiplos de π 2 o suficiente para que a soma se anule.

Logo, de fato NÃO EXISTE λ que satisfaça.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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