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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 3a

Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e é paralela à reta h .

  1. r : X = 1,1 , - 1 + λ 2,1 , - 1       s : x + y - 3 z = 1 2 x - y - 2 z = 0           h contém A = 1 , - 1,4 e B = 0 , - 3 , - 1 .
  2. r : X = 1 3 , 2 3 , 0 + λ 5,4 , 3         s : x + 1 2 = y = - z             h : X = 0,0 , 0 + λ 1,0 , 1
  3. r : X = 1,2 , 3 + λ 2 , - 1,0         s : - x = y - 1 = z + 3 2                 h ∥ u → = 43 9 , 86 27 ,   - 43 27  
  4. r : X = 2,1 , 0 + λ 1,0 , - 1           s : x + y = y = z             h : x = y - 1 = 2 - z 3 .

Passo 1

  1. Vamos inicialmente colocar a equação de s na forma vetorial.

Para isso, vamos obter dois pontos de s . Fazendo x = 0 , temos 0 , 2 5 , - 1 5 e fazendo x = 1 temos 1 , 6 5 , 2 5 . Portanto, temos que o vetor diretor de s é paralelo a

1 , 6 5 , 2 5 - 0 , 2 5 ,   - 1 5 = 1 , 4 5 , 3 5 = 1 5 5 ,   4 ,   3

Portanto,

s : X = 1 , 6 5 , 2 5 + k 1 5 ,   4 ,   3

Notemos que o vetor diretor de h é

u → = A - B = 1 , - 1,4 - 0 , - 3 , - 1 = 1,2 , 5

Passo 2

Agora que já passamos as retas para as formas vetoriais podemos começar a executar o exercício. Seja C o ponto de intersecção com r , e D com s . Temos:

C = 1 + 2 k 2 ,   1 + k 2 ,   - 1 - k 2

D = 1 + 5 k 1 , 6 5 + 4 k 1 , 2 5 + 3 k 1

Notemos que u → deve ser paralelo a C D → . Portanto, existe um real k tal que

C D → = k u → ⟹ 5 k 1 - 2 k 2 , 1 5 + 4 k 1 - k 2 , 7 5 + 3 k 1 + k 2 = k 1 ,   2 ,   5

5 k 1 - 2 k 2 = k 1 5 + 4 k 1 - k 2 = 2 k 7 5 + 3 k 1 + k 2 = 5 k ⟹ k - 5 k 1 + 2 k 2 = 0 2 k - 4 k 1 + k 2 = 1 5 5 k - 3 k 1 - k 2 = 7 5

Quando tentamos resolver o sistema acima (pode ser pelo método de Cramer), veremos que não existe solução. Portanto, a reta que procuramos não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

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Determine a equação na forma paramétricas da reta obtida pela interseção dos planos 2 x + 5 z - 3 = 0 , x - 3 y + z + 2 = 0
Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos. x - 2 y + z = 1 , 2 x + y + z = 1
Escreva equações nas formas paramétricas e simétrica da reta que contém o ponto A = ( 2 ,0 ,- 3 ) e é paralela à reta descrita pelas equações 1 - x 5 = 3 y 4 = z + 3 6 .
Usando somente números inteiros, escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto médio do segmento de extremidades ( 1 ,1 ,3 ) e ( 3 ,1 ,- 1 ) e tem vetor diretor 3 49 , 3 3 98 ,- 3 7 .
Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto ( - 1 ,- 4 ,- 2 ) e pelo ponto médio do segmento de extremidades ( 1 ,3 ,5 ) e ( 3 ,- 3 ,1 ) .