Sejam matrizes do tipo . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
- Se A é uma matriz , então
Passo 1
- Essa é fácil se você lembra do teorema . Veja:
- Aqui vamos usar a definição de determinante. Seja a matriz , da definição, podemos escrever seu determinante como:
- Essa é claramente falsa. Veja o contra exemplo:
- Essa é verdadeira pelo teorema 3.9.6, veja:
- Essa é falsa. Veja o contra exemplo:
- Essa é verdadeira pelo Teorema de Laplace. Veja que ele apenas calculou o determinante usando primeiro a linha e depois a linha .
Observação: note que o passo intermediário somente foi possível porque são quadradas de mesma ordem. Isso poderia não ter ocorrido caso não fosse quadrada.
O determinante da transposta:
Mas conforme vimos, essas são duas formas de representar o mesmo determinante. Logo .
Mas:
Ou seja:
Resposta
- Verdadeira;
- Verdadeira;
- Falsa;
- Verdadeira;
- Falsa;
- Verdadeira.