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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 5

Sejam A   e   B matrizes do tipo n × n . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. det ⁡ A B = d e t ⁡ ( B A )
  2. det ⁡ A ' = d e t ⁡ ( A )
  3. det ⁡ 2 A = 2 d e t A  
  4. det ⁡ A 2 = d e t A 2
  5. det ⁡ A i j < det ⁡ A
  6. Se A é uma matriz 3 × 3 , então a 11 Δ 11 + a 12 Δ 12 + a 13 Δ 13 = a 21 Δ 21 + a 22 Δ 22 + a 23 Δ 23

Passo 1

  1. Essa é fácil se você lembra do teorema 3.9 . 6 . Veja:

    2. det ⁡ A B = d e t A ∙ d e t B = d e t B ∙ d e t A = d e t ⁡ ( B A )

    Observação: note que o passo intermediário somente foi possível porque A   e   B são quadradas de mesma ordem. Isso poderia não ter ocorrido caso A   o u   B não fosse quadrada.

  2. Aqui vamos usar a definição de determinante. Seja a matriz A , da definição, podemos escrever seu determinante como:

    3. det ⁡ a i j = ∑ ρ - 1 J a 1 j 1 … a n j n

    O determinante da transposta:

    det ⁡ a i j T = det ⁡ a j i = ∑ ρ - 1 J a j 1 1 … a j n n

    Mas conforme vimos, essas são duas formas de representar o mesmo determinante. Logo det ⁡ A ' = det ⁡ A .

  3. Essa é claramente falsa. Veja o contra exemplo:

    4. det ⁡ 2 A = 2 a 2 b 2 c 2 d = 4 ( a d - b c )

    2 det ⁡ A = 2 ( a d - b c )

  4. Essa é verdadeira pelo teorema 3.9.6, veja:

    5. det ⁡ A 2 = det ⁡ A ∙ A = det ⁡ A ∙ det ⁡ A = det ⁡ A 2

  5. Essa é falsa. Veja o contra exemplo:

    6. det ⁡ A = 1 0 0 0 = 0

    Mas:

    det ⁡ A 22 = 1 = 1

    Ou seja:

    det ⁡ A < det ⁡ A 22

  6. Essa é verdadeira pelo Teorema de Laplace. Veja que ele apenas calculou o determinante usando primeiro a linha 1 e depois a linha 2 .

Resposta

  1. Verdadeira;
  2. Verdadeira;
  3. Falsa;
  4. Verdadeira;
  5. Falsa;
  6. Verdadeira.
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