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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 21

Decida se matriz A = 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 é invertível e, caso for, usae o método da adjunta para encontrar a inversa.

Passo 1

Para essa questão, precisamos usar da matriz adjunta para chegar usarmos na equação

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a )

Passo 2

Vamos então calcular o determinante de A para sabermos se a matriz é invertível ou não:

det ⁡ A = 2 1 - 3 0 2 - ( - 3 ) 0 - 3 0 2 + 5 0 1 0 0

det ⁡ A = 2 2 - 0 + 3 0 - 0 + 5 0 - 0

det ⁡ A = 4 + 0 + 0

det ⁡ A = 4

Como det ⁡ A ≠ 0 , A é invertível

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz adjunta. Ela é dada por:

a d j A = c o f A T

Portanto, para acharmos a adjunta, precisamos da matriz dos cofatores. Ela é calculada por:

c o f A = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33

Para calcularmos c i j , usamos:

c i j = - 1 i + j × M a t r i z   r e s u l t a n t e   d o   c o r t e   d a   l i n h a   i   e   c o l u n a   j

Passo 4

Vamos começar a calcular os cofatores:

c 11 = - 1 1 + 1 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 1 + 1 × 1 - 3 0 2 = 1 [ - 12 - 0 ] = 2

c 12 = - 1 1 + 2 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 1 + 2 × 0 - 3 0 2 = - 1 [ 0 - 4 ] = 0

c 13 = - 1 1 + 3 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 1 + 3 × 0 1 0 0 = 1 [ 0 - 0 ] = 0

c 21 = - 1 2 + 1 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 2 + 1 × - 3 5 0 2 = - 1 [ - 6 - 0 ] = 6

c 2 2 = - 1 2 + 2 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 2 + 2 × 2 5 0 2 = 1 [ 4 - 0 ] = 4

c 2 3 = - 1 2 + 3 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 2 + 3 × 2 - 3 0 0 = - 1 [ 0 - 0 ] = 0

c 31 = - 1 3 + 1 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 3 + 1 × - 3 5 1 - 3 = 1 [ 9 - 5 ] = 4

c 3 2 = - 1 3 + 2 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 3 + 2 × 2 5 0 - 3 = - 1 [ - 6 - 0 ] = 6

c 3 3 = - 1 3 + 3 × 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 = - 1 3 + 3 × 2 - 3 0 1 = 1 [ 2 - 0 ] = 2

Passo 5

Então, a matriz dos cofatores é dada por c o f A = 2 0 0 6 4 0 4 6 2

Mas, como a matriz adjunta é dada por c o f A T . Logo

a d j A = 2 6 4 0 4 6 0 0 2

Passo 6

Tendo a matriz adjunta, vamos aplicar na equação A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j ( a ) e achar a matriz inversa.

A - 1 = 1 det ⁡ A . a d j a

A - 1 = 1 4 . 2 6 4 0 4 6 0 0 2

A - 1 = 1 / 2 3 / 2 1 0 1 3 / 2 0 0 1 / 2

Resposta

A - 1 = 1 / 2 3 / 2 1 0 1 3 / 2 0 0 1 / 2

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